- •Множества n,z,q,r
- •Числовые промежутки
- •Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
- •Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
- •Числовая функция
- •Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
- •Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
- •Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
- •Формула Муавра
- •Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел
- •Многочлены в комплексной области. Условие
- •Основная теорема алгебры (т. Гауса)
- •Деление многочленов. Частное и остаток
- •Теорема Безу и её следствие
- •Кратность корня. Простые и кратные корни
- •Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
- •Последовательность, её геометрическое изображение.
- •Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
- •Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Расходящиеся последовательности.
- •Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
- •Число е. Натуральные логарифмы.
- •Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
- •Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
- •Первый замечательный предел.
- •Односторонние пределы.
- •Предел функции при х→±∞.
- •Второй замечательный предел. Следствия.
- •Замечательный логарифмический предел
- •Замечательный показательный предел
- •Замечательный степенной предел
- •Функция, ограниченная на данном множестве.
- •Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.
- •Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
- •Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
- •Бесконечно большая функция.
- •Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
- •Непрерывность функции на промежутке.
- •Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Точки разрыва функции и их квалификация.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).
- •Определение производной.
- •Механический смысл производной.
- •Определение дифференцируемой (в точке) функции.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
- •Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
- •Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
- •Односторонние производные.
- •Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
- •Геометрический смысл производной
- •Бесконечная производная и вертикальная касательная.
- •Правила дифференцирования (теоремы).
- •Вычисление производных основных элементарных функций
- •Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
- •Неявная функция и её дифференцирование.
- •Приближенное вычисление приращения функции.
- •Производные высших порядков.
- •Механический смысл 2 производной.
- •Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
- •Производная вектор-функции.
Приближенное вычисление приращения функции.
Простейший способ приближенного вычисления значения функции заключается в отбрасывании в основном равенстве дифференциального исчисления ∆f=f(x0+∆x)-f(x0)=f’(x0)∆x+α(∆x)∆x таинственного слагаемого α(∆x)∆x исчезает быстрее, чем ∆х, когда ∆х→0. Тогда мы получим две приближённые формулы: ∆f=f(x0+∆x)-f(x0)≈f’(x0)∆x – формула для приближенного вычисления приращения функции и f(x0+∆x)≈f(x0)+f’(x0)∆x – формула для приближённого вычисления значения функции.
Производные высших порядков.
Производная (f’(x))’ производной f’(x) функции f(x) называется второй производной функции f(x) и обозначается f’’(x).
Производная (f’’(x))’ второй производной f’’(x) функции f(x) называется третьей производной функции f(x) и обозначается f’’’(x).
Производной n-ого порядка функции f(x) называется производная производной (n-1)-го порядка этой функции; обозначение для производной –ого порядка f(n)(x). Таким образом, f(n)(x)=(f(n-1)(x))’.
Механический смысл 2 производной.
Если значения функции x=f(t) рассматривать как координату в момент времени t точки, движущейся по оси Ох, то вторая производная f’’(t0) есть ускорение движения этой точки в момент времени t0. Вообще, вторая производная f’’(x0) функции f(x) в точке х0 есть ускорение изменения функции f(x) в этой точке.
По аналогии, для n≥3 старшую производную f(n)(x) можно назвать ускорением n-го порядка.
Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
Вектор-функцией v→ переменной t называется закон, сопоставляющий каждой точке tєT области изменения t некоторый вектор v→(t) пространства. Если все векторы v→(t) перенести в начало координат, то концы этих векторов опишут некоторую кривую, которая называется годографом вектор-функции v→.
Производная вектор-функции.
Производной вектор-функции r→(t) в точке tєT называется вектор r→’(t)=(x’(t),y’(t),z’(t)), координаты которого есть производные соответствующих координат вектор-функции r→(t).