- •Множества n,z,q,r
- •Числовые промежутки
- •Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
- •Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
- •Числовая функция
- •Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
- •Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
- •Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
- •Формула Муавра
- •Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел
- •Многочлены в комплексной области. Условие
- •Основная теорема алгебры (т. Гауса)
- •Деление многочленов. Частное и остаток
- •Теорема Безу и её следствие
- •Кратность корня. Простые и кратные корни
- •Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
- •Последовательность, её геометрическое изображение.
- •Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
- •Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Расходящиеся последовательности.
- •Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
- •Число е. Натуральные логарифмы.
- •Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
- •Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
- •Первый замечательный предел.
- •Односторонние пределы.
- •Предел функции при х→±∞.
- •Второй замечательный предел. Следствия.
- •Замечательный логарифмический предел
- •Замечательный показательный предел
- •Замечательный степенной предел
- •Функция, ограниченная на данном множестве.
- •Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.
- •Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
- •Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
- •Бесконечно большая функция.
- •Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
- •Непрерывность функции на промежутке.
- •Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Точки разрыва функции и их квалификация.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).
- •Определение производной.
- •Механический смысл производной.
- •Определение дифференцируемой (в точке) функции.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
- •Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
- •Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
- •Односторонние производные.
- •Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
- •Геометрический смысл производной
- •Бесконечная производная и вертикальная касательная.
- •Правила дифференцирования (теоремы).
- •Вычисление производных основных элементарных функций
- •Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
- •Неявная функция и её дифференцирование.
- •Приближенное вычисление приращения функции.
- •Производные высших порядков.
- •Механический смысл 2 производной.
- •Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
- •Производная вектор-функции.
Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
Число а называется пределом последовательности {Xn}, если для любого ε>0 найдётся такой номер n0, что |xn-a|<ε для всех n≥n0.
Это записывается limn→∞Xn=a или, если ясно по какому из индексов рассматривается предел, limxn=a.
Последовательность имеющая предел называется сходящейся.
Геом смысл: В любой окрестности числа а содержатся все элементы последовательности, за исключением их конечного числа.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Последовательность предел которой стремиться к 0 - бесконечно малая.
Последовательность предел которой стремиться к бесконечности - бесконечно большая.
Расходящиеся последовательности.
Последовательность (an) называется расходящейся, если она не имеет предела, то есть найдется такое положительное число , что для любого M найдется натуральное n > M для которого . Геометрически расходимость последовательности a1, a2, …, an, … означает, что для любого числа a найдется интервал , вне которого находится бесконечное число членов последовательности, то есть вне интервала найдутся члены последовательности со сколь угодно большими номерами.
Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (т.е. сходится).
Число е. Натуральные логарифмы.
е = 2,7182818284…
Последовательность xn=(1+1/n)n возрастающая и все её элементы ограничены числом 3. Поэтому по теореме Вейерштрасса эта последовательность сходится. Предел этой последовательности обозначается е, limn→∞(1+1/n)n=e – определение числа е.
Логарифмы по основанию е называются натуральными (и обозначаются ln x), а число е также основанием натуральных логарифмов.
Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .
Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому
,
причем - бесконечно малая последовательность (как сумма бесконечно малых).◄
Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .
Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому
.
Последовательности бесконечно малые как произведение бесконечно малой на ограниченную и произведение бесконечно малых последовательностей. Тогда бесконечно малая как сумма бесконечно малых..◄
Для доказательства теоремы о пределе частного нам понадобится следующее свойство сходящихся последовательностей.
Лемма. Пусть , причем . Тогда последовательность ограничена.
Док-во. Возьмем и найдем номер , после которого . Для всех номеров будет справедлива оценка
, ,
а значит, для этих номеров . Тогда для всех номеров будет справедливо
, что означает ограниченность последовательности .
Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем . Док-во. Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому
Последовательность , очевидно, бесконечно малая, а, следовательно, .