67. Вычисление производных основных элементарных функций

1. (x^a)’=ax^a-1

Обозначим y=x^a, затем прологарифмируем это равенство: lny=alnx, и продифференцируем полученное соотношение по х, рассматривая lny как сложную функцию от х:1\у*y’ = a*1\x. Отсюда получаем y’=ay*1\x = ax^a*1\x, т.е. (x^a)’=ax^a-1

2. (a^x)’=a^xlna

Обозначим y=a^x, затем прологарифмируем это равенство: lny=xlna, и продифференцируем полученное соотношение по х, рассматривая ln y как сложную функцию от х: 1/у*у’ = ln a. Отсюда получаем y’=ylna=a^xln a, т.е. (а^х)’=a^xln a.

3. (ln_ax)’=1\xln a

(ln_ax)’=1\xlna Получается из равенства ln_ax=lnx\lna

4. (cosx)’=-sinx

Дифференцируем равенство cosx=sin(П\2-П): (cosx)’=cos(П\2-х)(-1)=-sinx.

5. (tgx)’=1\cos²x

Дифференцируем частное tgx=sinx\cosx: (tgx)’=(sinx\cosx)’=(sinx)’cosx-sinx(cosx)’\cos²x = cos²x+sin²x\cos²x = 1\cos²x.

6. (ctgx)’=-1\sin²x

Дифференцируем равенство ctgx=tg(П/2-х): (ctgx)’=1\cos²(П\2-х)*(-1)=-1/sin²x.

7. (arcsinx)’ =1\√1-x²

По правилу дифференцирования обратной функции, (arcsinx)’=1\sin’(arcsinx)=1\cos(arcsinx)=1\√1-sin²(arcsinx)=1\√1-x².

8. (arccosx)’=-1\√1-x²

Сразу следует из arccosx=П\2-arcsinx.

9. (arctgx)’ = 1\1+x²

По правилу дифференцирования обратной функции, (arctgx)’=1\1\cos²(arctgx) = [(т.к.)1+tg²x=1\cos²x]=1\1+tg²(arctgx)=1\1+x².

10. (arcctgx)’=-1\1+x²

Сразу следует из arcctgx=П\2 – arcctgx.

68. Таблица производных основных элементарных функций.

Const’=0 (tgx)’=1\cos²x

(x^a)’=ax^a-1 (ctgx)’=-1\sin²x

(a^x)’=a^xlna (arcsinx)’ =1\√1-x²

(e^x)’=e^x (arccosx)’=-1\√1-x²

(lnx)’=1\x (arctgx)’ = 1\1+x²

(ln_ax)’=1\xln a (arcctgx)’=-1\1+x²

(sinx)’=cosx

(cosx)’=-sinx

69. Параметрические заданные функции и их дифференцирование.

Геометрическое место точек на плоскости

будем называть графиком функции, заданной параметрически.

Параметрическим заданием функции y=f(x) называется пара функций x=ф(t), y=Ψ(t) с общей областью определения Е, такая, что равенство y=f(x) равносильно равенствам Ψ(t)=f(ф(t)) для всех хєD(f) и всех tєE.

Для нахождения производной параметрически заданной функции y=f(x), где х=ф(t), y=Ψ(t), в случае дифференцируемых функций f,ф,Ψ достаточно продифференцировать по t равенство Ψ(t) = f(ф(t)); тогда, по правилу дифференцирования сложной функции, Ψ’(t)=f’(ф(t))ф’(t), откуда f’(ф(t))=Ψ’(t)\ф’(t) или просто y’_x=y’(t)\x’(t) – правило нахождения производной параметрически заданной функции в точке x(t).

70. Неявная функция и её дифференцирование.

Неявные функции, функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних. Функции y = f(x),    , заданной уравнением F(x,y) = z₀,    и значение фиксированно.

При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции   , заданной неявно:  . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением   : , .

71. Логарифмическая производная.

(lny)’=1\y*y’

72. Определение дифференциала и его связь с производной.

Дифференциал — линейная часть приращения функции или отображения. Обычно дифференциал f обозначается df, а его значение в точке x обозначается d_xf.

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет дифференциал.

Если функция имеет дифференциал в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке.

73. Правила нахождения дифференциала.

Для вычисления дифференциала функции f(x) достаточно найти производную f’(x) и к полученному результату просто приписать df. Вычисление дифференциала происходит именно в точке х0, а не в произвольной точке х, то функциональную запись дифференциала обычно сокращают до df=f’(x)dx. Существует следующая формула для вычисления дифференциала: d(u+v)=du+dv; d(uv)=udx+vdu; d(u\v)=vdu=udv\v².

74. Геометрический смысл дифференциала.

f’(x0)∆x – это приращение ординаты текущей точки касательной, соответствующее приращению аргумента ∆x. Приращение касательной есть длина отрезка, которая равна f’(x0)∆x.

75. Инвариантность формы дифференциала.

Функциональная запись дифференциала df = f’(x)dx не зависит от того, является х независимой переменной или зависит от другой переменной, например, x=ф(t), где ф дифференцируемая функция.

Док-во: Если х=ф(t), где ф - дифференцируемая функция, то левая часть df равенства df=f’(x)dx после подстановки x=ф(t) принимает вид: df(ф(t))=(f(ф(t))ф’(t)dt. Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования сложной функции. С другой стороны, правая часть f’(x)dx равенства df=f’(x)dx после подстановки x(t)=ф(t) принимает вид: f’(x)dx=f’(ф(t))dф=f’(ф(t))ф’(t)dt, т.е. равенство df=f’(x)dx остаётся в силе и после подстановки x=ф(t). Теорема доказана.