- •Часть 2
- •Часть 2
- •Оглавление
- •4.1. Основные сведения 12
- •5.1. Основные сведения 22
- •Введение
- •Лабораторная работа 3
- •На устойчивость систем
- •3.1. Основные сведения
- •3.2. Порядок выполнения работы
- •3.3. Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 4 точность систем и методы ее повышения
- •4.1. Основные сведения
- •4.2. Порядок выполнения работы
- •4.3. Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 5 качество процессов управления и методы его обеспечения
- •5.1. Основные сведения
- •5.2. Порядок выполнения работы
- •5.3. Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •644046, Г. Омск, пр. Маркса, 35
Лабораторная работа 3
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ. ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ
На устойчивость систем
Цель работы: знакомство с понятием и основной теоремой устойчивости линейных систем, с методом Д-разбиения, оценивающим влияние параметров на устойчивость и экспериментальное определение границ Д-разбиения.
3.1. Основные сведения
Под устойчивостью, или (более корректно) под устойчивостью процессов управления, понимается работоспособность, т. е. способность системы в принципе отрабатывать входные воздействия. Для исследования свойств устойчивости вводится в рассмотрение ошибка
, (3.1)
где x(t) – входное (задающее) воздействие; y(t) – выходная переменная.
Требованием соблюдения устойчивости является выполнение в переходном режиме условия:
. (3.2)
Линейная система в разомкнутом состоянии описывается передаточной функцией:
, (3.3)
где R(s) и Q(s) – полиномы степеней m и n соответственно (n m).
Устойчивость оценивается для замкнутых систем и для них справедливо выражение
(3.4)
или в полиномиальной форме –
. (3.5)
В формуле (3.5) выражение D(s) называют характеристическим полиномом замкнутой системы, который, как и Q(s), имеет степень, равную n и записывается в виде:
. (3.6)
В развернутой форме
, (3.7)
где – коэффициенты характеристического полинома.
(Напомним, что являются также и параметрами левой части дифференциального уравнения, описывающего процессы в замкнутой системе.)
Характеристическое уравнение записывается в виде:
(3.8)
или
. (3.9)
В теории управления доказана основная теорема устойчивости, в соответствии с которой для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения (3.9) имели бы отрицательные вещественные части [3, 4].
Аналитически условия теоремы соответствуют выполнению неравенств:
(3.10)
В выражении (3.10) корни si являются корнями уравнения (3.8), поэтому справедливо выполнение тождеств:
(3.11)
Заметим, что si также называют полюсами передаточной функции Ф(s) замкнутой системы.
Существует и другая формулировка основной теоремы [3, 4]. Для этого вводится в рассмотрение комплексная плоскость корней. Система устойчива при условии, если все ее корни располагаются в левой полуплоскости. Попадание хотя бы одного корня в правую полуплоскость означает неустойчивость системы управления (расходящийся характер переходных процессов). Мнимая ось в общем случае является колебательной границей устойчивости и при нахождении на ней хотя бы одной пары мнимых корней в переходном режиме устанавливаются незатухающие колебания. Начало координат соответствует апериодической границе устойчивости.
Естественно, что если в уравнении (3.9) изменить численное значение хотя бы одного из коэффициентов ai, то корни si будут другими и возможно нарушение условия устойчивости (3.10). Наиболее распространенными методами анализа влияния параметров на расположение корней, а следовательно, и на устойчивость являются корневой годограф [3] и Д-разбиение [3, 4].
В методе Д-разбиения пространство параметров разделяется на подобласти с одинаковым числом корней в левой и правой полуплоскостях. Рассмотрим Д-метод на примере системы третьего порядка и проанализируем влияние двух параметров A и B на ее устойчивость.
Допустим, что характеристическое уравнение можно записать в виде:
(3.12)
Изменим параметры A и B так, что один или два корня полинома будут перемещаться из левой полуплоскости в правую, поэтому при некоторой они обязательно попадут на мнимую ось, т.е. .
Подставляя в выражение (3.12), получим для определения Д-границы или Д-кривой следующее уравнение:
(3.13)
Левая часть выражения (3.13) представляет собой комплексную функцию, поэтому должны равняться нулю вещественная и мнимая части:
(3.14)
Система (3.14) получена из условия, что комплексные переменные представлены в виде:
(3.15)
При некоторой фиксированной частоте ω = ω0 каждое из уравнений системы (3.14) в плоскости параметров представляет собой (описывает) прямую линию, как показано на рис. 3.1, а. Решению должна удовлетворять точка пересечения прямых С, которая и является точкой Д-кривой при ω = ω0. Для построения всей границы необходимо изменить частоту от до .
а б Рис. 3.1. Виды границ Д-разбиения
На Д-кривую наносят двойную штриховку, так как она соответствует переходу через мнимую ось двух корней. Если прямые на рис. 3.1, а совпадают (система не имеет решения), то они образуют особую прямую, вид которой приведен на рис. 3.1, б. Штриховка наносится одинарная, так как особая прямая соответствует апериодической границе устойчивости s = 0 и переходу только одного корня.
Полученные области подписывают. Например, для системы n-го порядка обозначение означает, что l корней находится в левой, а m корней – в правой, причем n = l + m.
Рассмотрим систему третьего порядка
. (3.16)
Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:
, (3.17)
характеристическое уравнение –
(3.18)
или в развернутой форме
. (3.19)
Допустим, что в качестве параметров А и В выбраны коэффициент передачи разомкнутой системы k и постоянная времени Т.
Уравнение (3.12) имеет вид:
. (3.20)
Заметим, что выражение (3.19) является частным случаем формулы (3.9), когда выполняется:
,
а для уравнений (3.20) и (3.12) справедливо:
.
При фиксированных Т1 и Т2, используя рассмотренную методику, можно построить кривую Д-разбиения, но выражение (3.20) достаточно сложное, поэтому приведем на рис. 3.2 качественный вид Д-кривой. Особые прямые можно получить из необходимых условий устойчивости, т.е. и , поэтому они описываются уравнениями:
(3.21)
В
Рис. 3.2. Д-разбиение для системы
третьего порядка
При этом нахождению на Д-кривой соответствует незатухающий переходный процесс или запас устойчивости по фазе , если использовать логарифмические характеристики.