Теплопроводность цилиндрической стенки

В практике изготовления теплообменных аппаратов и в системах транспорта теплоносителей широкое применение имеют поверхности теплообмена цилиндрической формы, в качестве которых выступают трубы разного диаметра. Особенностью их теплопроводности является то, что изотермическими поверхностями здесь являются концентрические цилиндры, благодаря чему температура изменяется только в направлении радиуса: t = f(r). Тепловой поток тоже направлен радиально, а его плотность по толщине стенки трубы не постоянна; она уменьшается по мере увеличения радиуса.

В

Рис. 5.83

ыделим внутри цилиндрической стенки (рис. 5.3) кольцевой слой радиусом r и толщиной dr.

Теплопередающая поверхность цилиндрического слоя длиной l – F = 2r. По закону Фурье Q = F(dt/dr) или для кольцевого слоя – Q = 2rl(dt/dr). Разделяя переменные, получаем dt = (Q/2l)(dr/r). Интегрируя полученное выражение в пределах от t₁ до t₂ и от r₁ до r₂, получаем:

. (5.225)

Как видно из уравнения (5.19), температура в стенке трубы изменяется по логарифмической зависимости. Заменив отношение радиусов r₂/r₁ отношением диаметров d₂/d₁, определим тепловой поток:

. (5.226)

Удельный тепловой поток для цилиндрической стенки относят к одному погонному метру длины трубы:

. (5.227)

Знаменатель уравнения (5.21) представляет собой термическое сопротивление цилиндрической стенки

. (5.228)

Если стенка состоит из n слоев с разной теплопроводностью, то тепловой поток определяется по формуле:

. (5.229)

Температура в стенке трубы на любом радиусе r может быть найдена из уравнения:

. (5.230)

Конвективный теплообмен

Как уже отмечалось, конвективный перенос теплоты обусловлен видимым перемещением, перемешиванием масс жидкости или газа. Для практических задач наибольший интерес представляет изучение процессов теплопереноса конвекцией вблизи твердой стенки. Теплообмен между движущейся средой и поверхностью какого-либо тела называется теплоотдачей. В процессе теплоотдачи твердое тело и омывающая его жидкость обмениваются тепловой энергией, если между ними есть разность температур. В пристеночном ламинарном слое жидкости (рис. 5.4) перенос тепла осуществляется путем теплопроводности, а в турбулентной части потока – в основном конвекцией.

Т

Рис. 5.84

ак как жидкость и газы имеют невысокую теплопроводность, то ламинарная часть потока создает большое термическое сопротивление и именно в этом слое наблюдается резкое падение температуры. По мере удаления от стенки за счет турбулизации потока и смешения нагретых и холодных частей жидкости температура выравнивается. Следовательно, для интенсификации процесса теплоотдачи нужно принимать меры по уменьшению толщины пограничного ламинарного слоя.

Существование пограничного слоя обусловлено наличием сил трения и сцепления с твердой поверхностью. Поэтому его толщина зависит как от физических свойств жидкости и режима ее движения, так и от состояния и формы поверхности стенки. Вязкие жидкости при малых скоростях движения на шероховатых поверхностях образуют сравнительно толстый пограничный слой, что затрудняет процесс теплоотдачи. Наоборот, с уменьшением вязкости жидкости, возрастанием скорости движения, улучшением чистоты поверхности пристеночный слой становится тоньше, его термическое сопротивление снижается. Имеет значение и форма поверхности, ее конфигурация, которая должна подбираться таким образом, чтобы происходила искусственная турбулизация потока.

Несмотря на сложность процесса теплоотдачи расчетная зависимость для определения количества тепла, известная как формула Ньютона-Рихмана, достаточна проста:

q =  (t₁ – t₂). (5.231)

Коэффициент теплоотдачи  в уравнении (5.25) представляет собой количество тепла, передаваемого от стенки к жидкости (или от жидкости к стенке) в единицу времени через 1 м² поверхности при разности температур 1 K. Величина  зависит от тех факторов, которые влияют на процесс теплообмена: скорости движения жидкости , ее вязкости , коэффициента теплопроводности , плотности , теплоемкости с_р, температуры t, геометрической формы тела Ф, его размеров l и др., что можно записать как

 = f (, , , , c_p, t , Ф, l…). (5.232)

Найти решение такой многофакторной задачи не представляется возможным. Не может быть составлено и таблиц для определения коэффициента теплоотдачи с переборкой всех переменных величин.

Отмеченные обстоятельства приводят к выводу о необходимости проведения физического эксперимента в каждом случае, когда возникает потребность расчета теплоотдачи по формуле (5.25).

Достоинством экспериментального метода является высокая достоверность получаемых результатов, а главным недостатком – ограниченная область их применения, т. е. выводы, полученные при опытном исследовании конкретного явления, не могут быть распространены на другие явления. Научной основой проведения экспериментов по изучению процессов конвективного теплообмена и обобщения результатов опытов является теория подобия. Практические задачи, которые должны быть разрешены с помощью этой теории, можно сформулировать следующим образом: 1) какие физические явления следует считать подобными; 2) какие величины нужно измерять в опытах; 3) как обрабатывать результаты экспериментов.

Понятие подобия знакомо из геометрии, где рассматривается подобие геометрических фигур. Непременным условием является соблюдение пропорциональности сходственных линейных размеров:

, (5.233)

где линейные размеры одной фигуры; сходственные размеры другой фигуры; С_l – константа подобия.

Принципы геометрического подобия могут быть распространены на физические явления и процессы. Так, кинематическое подобие требует пропорциональности скоростей и их проекций в сходственных точках, при динамическом подобии пропорциональны перепады давления, при тепловом – перепады температуры и тепловых потоков. Следовательно, подобные явления характеризуются пропорциональностью в сходственных точках пространства и времени всех однородных физических величин, т.е. соблюдением условия однозначности. В общем случае это можно записать как

, (5.234)

где и – произвольные однородные величины, характерные для рассматриваемого явления.

Константа подобия какой-либо конкретной величины имеет свой индекс, например,  = С_;  = С_;  = С_. коротко это можно сформулировать так: у подобных явлений условия однозначности должны быть подобными.

К одному из основных признаков подобия явлений следует отнести принадлежность их к одному классу явлений, когда они описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями. Так, процессы движения капельных жидкостей и газов, несмотря на различие параметров этих сред, могут быть подобными поскольку имеют одинаковые уравнения движения.

Признаком подобия явлений, кроме отмеченных, является равенство в сходственных точках критериев подобия, под которыми понимают безразмерные комплексы величин, характеризующих рассматриваемые явления. Для доказательства этого проанализируем два заведомо подобных явления передачи тепла от жидкости к стенке (рис. 5.5).

а б

Рис. 5.85

Удельный тепловой поток от жидкости к стенке в первом явлении q  (t_ж  t_с), а через стенку – q = (dt/dx). Обозначив t_ж  t_с = t и приравняв правые части этих уравнений друг к другу, получаем:

 t =  (dt / dx). (5.235)

Аналогичное равенство можно записать для второго явления:

 t =  (dt / dx). (5.236)

Поскольку явления подобны, то можно соответствующие величины выразить через константы подобия:

(5.237)

Подставив их в уравнение (5.30), получаем:

С_ С_tt = C_ (C_tdt / C_ldx). (5.238)

Почленное деление уравнения (5.32) на соотношение (5.29) приводит к выражению С_С_t = C_C_t/C_l, которое после сокращения на С_t имеет вид:

. (5.239)

Заменив в выражении (5.33) константы подобия на отношение величин из системы (5.31), окончательно получаем:

. (5.240)

Таким образом, для рассмотренных подобных явлений безразмерный комплекс величин αl /  одинаков. Он назван критерием Нуссельта (критерии подобия принято называть именами выдающихся ученых):

. (5.241)

Критерий Рейнольдса Re = l /  характеризует гидродинамический режим потока, является мерой отношения сил инерции и сил вязкого трения. Критерий Грасгофа Gr = gl³t / ² является мерой отношения подъемной силы, возникающей вследствие разности плотностей жидкости, к силе вязкого трения. Критерий Прандтля Pr =  / а характеризует физические свойства веществ. В приведенных формулах   коэффициент кинематической вязкости;   коэффициент объемного расширения; а – коэффициент температуропроводности.

Итак, подобными называются явления, протекающие в геометрически подобных системах, относящиеся к одному классу явлений, у которых условия однозначности подобны и критерии подобия равны.

В критерии Нуссельта (5.35) присутствует коэффициент теплоотдачи. Если каким-либо образом получено численное значение Nu, то можно найти , поэтому критерий Nu называется определяемым, а критерии Re, Gr, Pr – определяющими. Связь между ними записывается в виде:

Nu = f(Re, Gr, Pr). (5.242)

Функциональная зависимость между критериями в различных процессах находится опытным путем. Очевидно, что в экспериментах следует измерять те величины, которые входят в определяющие критерии.

Обрабатывать полученные результаты экспериментов нужно в критериальной форме, чтобы выводы можно было распространить на все подобные явления. В случае вынужденного движения жидкости свободной конвекцией можно пренебречь, тогда уравнение (5.36) упрощается:

Nu = f(Re, Pr). (5.243)

Наоборот, при свободном движении жидкости преобладающее влияние будет оказывать разность плотностей нагретых и охлажденных частей жидкости, поэтому в критериальном уравнении вместо Re будет присутствовать Gr:

Nu = f(Gr, Pr). (5.244)

В качестве примера приведем некоторые критериальные уравнения подобия, полученные на основании обработки опытных данных. При турбулентном режиме течения теплоносителя (Re  10⁴) в трубах и каналах процесс теплоотдачи описывается уравнением:

Nu = 0,021 Re^0,8 Pr^0,43. (5.245)

В качестве определяющей температуры принята средняя температура жидкости. Определяющим размером труб является внутренний диаметр, а для каналов любого сечения – эквивалентный диаметр, равный учетверенной площади сечения, поделенной на периметр: d_экв = 4f / Р.

Оценка теплоотдачи в трубах при вязкостно-гравитационном режиме течения (Re  2000) производится по уравнению:

Nu = 0,15Re^0,33 Pr^0,43 Gr^0,1. (5.246)

Теплообмен в случае поперечного омывания одиночной трубы потоком жидкости может быть рассчитан по формулам:

при Re  1000 –

Nu = 0,5 Re^0,5 Pr^0,38; (5.247)

при Re = 1000  200000 –

Nu = 0,25 Re^0,6 Pr^0,38. (5.248)

Если осуществляется свободное движение теплоносителя вдоль стенки, то можно воспользоваться обобщенным уравнением:

Nu = C (Gr  Pr)ⁿ. (5.249)

Численное значения величин С и n зависят от произведения GrPr и приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.3

Выбор значений коэффициентов C и n

Gr  Pr	C	n
103  5102	1,180	0,125
5102  2107	0,540	0,250
2107  1013	0,135	0,333

В формуле (5.43) за определяющую температуру принята температура жидкости вдали от стенки, а за определяющий размер – длина поверхности теплообмена.

Поскольку интенсивность теплоотдачи при нагревании жидкости от стенки выше, чем при охлаждении, то в зависимости от направления теплового потока (от стенки к жидкости или наоборот) значение  будет несколько изменяться. Этот фактор по рекомендации профессора М. А. Михеева учитывается отношением (Pr_ж/Pr_ст)^0,25, на которое следует умножать первые части уравнений (5.39) – (5.42). Рассчитанное по какой-либо из приведенных формул для конкретного случая численное значение Nu позволяет определить величину коэффициента теплоотдачи , а следовательно, и количество передаваемого тепла.