Теплопроводность

Основной закон теплопроводности, сформулированный французским ученым Ж. Фурье в 1822 г., устанавливает пропорциональность удельного теплового потока температурному градиенту:

q =   grad t. (5.212)

Знак «минус» показывает противоположную направленность векторов теплового потока и градиента температуры. Множитель , выступающий в уравнении (5.6) в качестве коэффициента пропорциональности, называется коэффициентом теплопроводности.

Переписав закон Фурье с учетом (5.5) в виде

, (5.213)

получаем выражение для установления физического смысла и размерности коэффициента теплопроводности:

. (5.214)

Отсюда следует, что коэффициент теплопроводности  это количество тепла, которое передается через 1м² поверхности в единицу времени при градиенте температуры в 1 K/м и имеет размерность Вт/(мK).

Величина коэффициента теплопроводности  зависит от природы тел и температуры. Наибольшей теплопроводностью обладают металлы. Так, для стали  составляет примерно 50 Вт/(мK), для алюминия – около 200. Пористые, волокнистые материалы имеют низкую теплопроводность, поэтому используются в качестве теплоизоляции. Например, пробковая пластина имеет значение  на уровне 0,04 Вт/(мK), шлаковата – 0,07.

Зависимость  от температуры большинства материалов принимается линейной:

 = ₀ (1 + bt), (5.215)

где ₀ – коэффициент теплопроводности при 0 С; b – коэффициент, определяемый опытным путем.

Коэффициент теплопроводности металлов (кроме алюминия) и жидкостей (кроме воды) с ростом температуры убывает, а теплоизоляционных материалов и газов – возрастает.

Теплопроводность однослойной стенки

Рассмотрим наиболее простой, но часто встречающийся случай передачи тепла путем теплопроводности через однослойную плоскую стенку (рис. 5.1).

С

Рис. 5.81

тенка толщиной  изготовлена из однородного материала, на поверхностях поддерживаются температуры t₁ и t₂, причем t₁  t₂. Температура изменяется только в направлении оси х, перпендикулярной стенке. За счет разности температур возникает тепловой поток q. На произвольном расстоянии х выделим для рассмотрения элементарный слой толщиной dx, для которого запишем закон Фурье: q = (dt/dx). Разделив переменные t и x: dt = (q/) dx и проинтегрировав полученное выражение в пределах от t₁ до t₂ и от 0 до , получаем:

t₂  t₁ = (q / ) . (5.216)

Из уравнения (5.10) видно, что изменение температуры по толщине стенки происходит линейно. На любом расстоянии х от границы стенки температура может быть найдена как

t_x = t₁  (q / ) х. (5.217)

Воспользовавшись связью (5.10), найдем величину теплового потока

. (5.218)

Отношение  /  = R называется термическим сопротивлением стенки. Следовательно, тепловой поток тем больше, чем выше разность температур и чем меньше термическое сопротивление стенки: q = (t₁  t₂) / R.

Теплопроводность многослойной плоской стенки

П

Рис. 5.82

усть стенка состоит из трех слоев (рис. 5.2) толщиной ₁, ₂, ₃ с коэффициентами теплопроводности ₁, ₂, ₃. Температура наружных стенок t₁ и t₂, неизвестная пока температура на границах слоев, t и t. Найдем количество тепла, передаваемого через многослойную стенку.

Тепловой поток q определяется суммарным термическим сопротивлением всех трех слоев, а для каждого слоя его величина одинакова. На основании формулы (5.12) запишем:

(5.219)

Из системы (5.13) определим разность температур на границах слоев:

(5.220)

Складывая почленно правые и левые части уравнений (5.14), получаем:

. (5.221)

Отсюда находится величина удельного теплового потока:

. (5.222)

Знаменатель выражения (5.16) представляет собой термическое сопротивление трехслойной стенки, которое складывается из термических сопротивлений отдельных слоев. Для произвольного числа n слоев

. (5.223)

Значение температуры на границах слоев можно определить из равенств (5.14):

; . (5.224)

График изменения температуры в каждом слое носит линейный характер, а угол наклона прямой, соединяющий точки граничных температур, зависит от термического сопротивления слоя. Чем оно больше, тем круче прямая, следовательно, больше падение температур.