5. Свёртки тензоров.

Рассмотрим двойное скалярное умножение тензоров 2-го ранга, определяемое выражением

.

В результате свёртки получаем скалярную величину. Основное свойство свёртки: .

Действительно, .

Вопросы и упражнения.

1. Доказать, что результат скалярного умножения тензора 2-го ранга на вектор есть вектор.

2. Записать скалярное произведение тензоров, относя их к смешанным базисам: .

3. Доказать, что тензор является линейным оператором в , если линейное преобразование представить в виде .

4. Доказать справедливость утверждения .

5. Доказать, что .

6. Найти положения точек (радиус-векторы) в результате линейного преобразования, задаваемого тензором , если известны начальные положения этих точек .

7. Доказать, что прямые в результате линейного преобразования остаются прямыми.

8. Доказать, что параллельные прямые в результате линейного преобразования остаются прямыми.

9. Для заданного симметричного тензора построить соответствующую квадратичную форму и исследовать её знак.

10. По заданной в декартовом базисе квадратичной форме найти соответствующий её тензор.

11. По заданному в декартовом базисе тензору определить:

    1. Компоненты данного тензора в основном, взаимном и смешанном косоугольных базисах, если известны разложения (коэффициенты ) векторов основного базиса по декартову базису ;

    2. Выражения билинейной формы, соответствующей тензору в различных базисах;

    3. Выражения квадратичной формы, соответствующей симметричной составляющей тензора .