- •Основные алгебраические операции над тензорами План
- •Скалярное произведение тензоров одинаковых и различных рангов, свойства скалярного умножения, единичный тензор.
- •Тензор как линейный оператор, транспонированный тензор как сопряжённый оператор.
- •Билинейные и квадратичные формы симметричных тензоров.
- •Линейные операции над тензорами.
- •Скалярное умножение тензоров.
- •Тензор 2-го ранга как линейный оператор в .
- •Билинейные и квадратичные формы тензоров.
- •Свёртки тензоров.
- •Вопросы и упражнения.
Тензор 2-го ранга как линейный оператор в .
Из определения тензора следует, что он удовлетворяет аксиомам линейного оператора, если линейное преобразование представить в виде скалярного произведения тензора на произвольный вектор , а результат (вектор ) рассматривать как образ вектора , тогда
, где А – линейный оператор (3.18)
Из (3.18) получим связь между вариантными координатами векторов в виде:
. (3.19)
Таким образом, компоненты тензора в (3.19) представляют матрицу линейного оператора в смешанном базисе. Если преобразование рассматривается в декартовом базисе, то основной и взаимный базисы совпадают и
(3.20)
Запись линейного преобразования (3.18) в виде (3.20) совпадает с используемой в линейной алгебре.
Определим тензор , который называется транспонированным по отношению к , следующим условием:
(3.21)
Из (3.21) следует, что умножение транспонированного тензора на произвольный вектор слева приводит к тому же результату, что и умножение исходного тензора на вектор справа. Из определения (3.21) следует, что транспонированный тензор есть сопряжённый оператор по отношению к исходному линейному оператору, представляемому тензором . Непосредственной проверкой доказываются следующие свойства операции транспонирования:
;
.
Рассмотрим операцию альтернирования тензора, которая заключается в представлении тензора суммой следующего вида:
(3.22)
Здесь - симметричный тензор, определяемый из условия
(3.23)
- антисимметричный тензор, определяемый из условия
(3.24)
Из определения (3.23) следует, что , поэтому базис симметричных тензоров содержит шесть независимых диад:
.
Из определения антисимметричного тензора следует, что , тогда его диадное разложение имеет вид:
(3.25)
Множество тензоров, принадлежащих пространству с базисом, удовлетворяющим условиям (3.25), называют внешними формами 2-го порядка, а базисные диады (3.25) обозначают следующим образом:
.
Тогда .
Обратному оператору в ставится в соответствие обратный тензор, который определяется из условия
, где - тензор, обратный . (3.26)
Смешанные компоненты матрицы обратного тензора получим в результате решения системы линейных уравнений. Данная система включает 9 уравнений относительно компонент и получается из условия (3.26) в виде
(3.27)
Непосредственной проверкой убеждаемся, что система (3.27) не изменяется при изменении тензоров и местами, т. е. .
По аналогии с ортогональным оператором вводится ортогональный тензор - . Основное свойство данного тензора состоит в том, что длина векторов , получаемых в результате преобразования , остаётся неизменной. Поэтому должно выполняться следующее условие:
(3.28)
Для выполнения условия (3.28) необходимо и достаточно, чтобы . Таким образом, формально, ортогональным называется такой тензор, обратный которому совпадает с транспонированным.
Билинейные и квадратичные формы тензоров.
Рассмотрим выражение, получаемое скалярным умножением тензора на независимые произвольные векторы и соответственно слева и справа. Данное выражение представляется в следующем виде:
(3.29)
Обозначая линейный оператор, соответствующий тензору через , правую часть (3.29) представим в форме
(3.30)
Выражение (3.30) определяет билинейную форму оператора . Сравнение (3.30) и (3.29) показывает, что билинейная форма в может быть представлена скалярным произведением тензора 2-го ранга на векторы слева и справа, т. е. в виде (3.29). Данное утверждение является теоремой Рисса-Фишера.
В общем случае изменение порядка следования вектор-аргументов изменяет значение билинейной формы . Действительно, из (3.29) и (3.30) следует, что
.
На основании определения билинейной формы можно определить оператор, сопряжённый из условия
или .
Билинейная форма называется симметричной, если выполняется условие
.
В этом случае оператор А должен быть самосопряжённым, обозначим его через М. Соответствующему симметричному тензору ставится в соответствие квадратичная форма
(3.31)
Симметричный тензор называется положительно определённым, если его квадратичная форма положительно определена. Если квадратичная форма отрицательна, то соответствующий тензор называется отрицательно определённым.