- •15 Кафедра математического анализа
- •Глава 4. Элементы теории поля
- •§1. Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня. Векторные линии
- •§2. Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона
- •§3. Поток векторного поля
- •§4. Циркуляция векторного поля
- •§5. Потенциальные и соленоидальные поля
- •Задания для самостоятельного решения:
- •5. Вычислить поток векторного поля f через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если:
- •6. Найти циркуляцию плоского векторного поля f вдоль кривой l (направление обхода – положительное):
- •7. Найти циркуляцию векторного поля f вдоль замкнутого контура l:
- •8. Являются ли следующие векторные поля потенциальными?
- •9. Показать, что следующие векторные поля потенциальны, и найти их потенциалы:
- •10. Являются ли следующие векторные поля соленоидальными?
Задания для самостоятельного решения:
1. Найти градиент скалярного поля :
а) .
б) .
в) .
г) .
д) .
е) .
ж) .
2. Найти градиент скалярного поля в точке :
а) , .
б) , .
в) , .
3. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F:
а) F i j k.
б) F i j k.
в) F .
г) F .
д) F i j k.
е) F i j k.
ж) F i j k.
з) F i j k.
и) F i j k.
к) F i j k.
4. Вычислить поток векторного поля F через поверхность в сторону, определяемую нормалью n к поверхности , если:
а) F , – часть цилиндра , заключенная между плоскостями и , n – внешняя нормаль.
б) F , – часть плоскости , расположенная в первом октанте между плоскостями и , n образует острый угол с осью .
в) F , – полусфера , расположенная в полупространстве , n образует острый угол с осью .
г) F , – часть конуса , заключенная между плоскостями и , n образует тупой угол с осью .
д) F , – поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями , , , .
е) F , – часть сферы , расположенная в первом октанте, n – внешняя нормаль.
ж) F i j k, – часть параболоида , заключенная между плоскостями и , n образует тупой угол с осью .
5. Вычислить поток векторного поля f через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если:
а) F , – полная поверхность цилиндра , , .
б) F i j k, – полная поверхность призмы, ограниченной плоскостями , , , , .
в) F i j k, – полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями , , , .
6. Найти циркуляцию плоского векторного поля f вдоль кривой l (направление обхода – положительное):
а) F , L – ломанная АВА, где , , кривая – кусок параболы , а – отрезок прямой.
б) F , L – граница квадрата , .
в) F , L – ломанная АВС, где , , .
г) F , L – кардиоида: , в сторону увеличения параметра.
7. Найти циркуляцию векторного поля f вдоль замкнутого контура l:
а) F , L – окружность, параметрические уравнения которой: , , , направление обхода – в сторону увеличения параметра .
б) F , L – окружность, получающаяся пересечением сферы и плоскости , направление обхода – против часовой стрелки, если смотреть с конца оси .
в) F , L – контур треугольника АВС, , , .
г) F , L – ломанная АВС, где , , .
д) F , L – окружность: , .
е) F i j k, L – контур треугольника АВС, , , .
8. Являются ли следующие векторные поля потенциальными?
а) F i j k.
б) F i j k.
в) F i j k.
г) F i j k.
9. Показать, что следующие векторные поля потенциальны, и найти их потенциалы:
а) F i j k.
б) F i j k.
в) F i j k.
10. Являются ли следующие векторные поля соленоидальными?
а) F i j k.
б) F i j k.
в) F i j k.
Сыктывкарский государственный университет