- •15 Кафедра математического анализа
- •Глава 4. Элементы теории поля
- •§1. Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня. Векторные линии
- •§2. Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона
- •§3. Поток векторного поля
- •§4. Циркуляция векторного поля
- •§5. Потенциальные и соленоидальные поля
- •Задания для самостоятельного решения:
- •5. Вычислить поток векторного поля f через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если:
- •6. Найти циркуляцию плоского векторного поля f вдоль кривой l (направление обхода – положительное):
- •7. Найти циркуляцию векторного поля f вдоль замкнутого контура l:
- •8. Являются ли следующие векторные поля потенциальными?
- •9. Показать, что следующие векторные поля потенциальны, и найти их потенциалы:
- •10. Являются ли следующие векторные поля соленоидальными?
§5. Потенциальные и соленоидальные поля
Векторное поле F называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля U, т.е. F = grad U .
В случае если поле F потенциально, выполняются равенства
, , ,
что равносильно тому, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Эта функция называется потенциалом векторного поля F.
Теорема. Пусть область поверхностно односвязна и функции – непрерывно дифференцируемы в . Тогда векторное поле F потенциально тогда и только тогда, когда выполняются равенства:
, , .
Приведенная теорема утверждает, что векторное поле F потенциально тогда и только тогда, когда rot F = 0, т.е. поле является безвихревым. Условие rot F = 0 является также необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл
не зависит от формы кривой, соединяющей точки А и В в области , а также того, что циркуляция поля F по любому замкнутому контуру равна нулю, т.е.
.
Если поле F потенциально, то его потенциал U можно найти непосредственным интегрированием по некоторому пути :
.
При этом, в силу независимости этого интеграла от формы пути, путь выбирают в виде ломаной , вдоль каждого из звеньев которой изменяется лишь одна координата, а остальные остаются постоянными. В этом случае два из трех дифференциалов в криволинейном интеграле обращаются в ноль, и потенциал вычисляется в виде суммы:
,
где каждый из интегралов – есть обычный определенный интеграл по соответствующей переменной, а остальные переменные играют роль констант.
Если потенциал векторного поля F известен, то
.
Векторное поле F называется соленоидальным, если оно является ротором некоторого векторного поля А, т.е. F rot A A. Поле А называется векторным потенциалом поля F.
Теорема. Пусть область пространственно односвязна и координаты векторного поля непрерывно дифференцируемы в . Тогда векторное поле F соленоидально в том и только в том случае, когда
div F
в каждой точке области .
Если векторное поле соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Пример. Показать, что поле F i j k потенциально и найти его потенциал.
Покажем, что rot F = 0.
rot F i j k i j k 0.
Следовательно, поле F потенциально. Найдем потенциал поля F непосредственным интегрированием.
Зафиксируем точку и рассмотрим произвольную точку . Тогда
.
Линию интегрирования (в силу независимости такого интеграла от формы пути) выберем в виде ломаной , где отрезок параллелен оси , отрезок – оси , а отрезок – оси . Вдоль имеем и , а, следовательно, , вдоль уже – постоянно и , откуда , а вдоль обе переменные, и – постоянны, а, значит, . Тогда
.
Контрольные вопросы:
Дайте определение потенциального векторного поля F.
Какие равенства выполняются, когда поле F потенциально?
Дайте определение соленоидального векторного поля F.
Приведите необходимое и достаточное условие того, что векторное поле F соленоидально.