Задания для самостоятельного решения:

1. Вычислить следующие криволинейные интегралы первого рода:

а) - дуга цепной линии , , , ;

б) - четверть эллипса , .

2. Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды , , .

3. Вычислить массу:

а) четверти эллипса , , расположенную в первой четверти, если ее линейная плотность равна у.

б) контура прямоугольника со сторонами, лежащими на прямых , , , , если ;

в) дуги параболы , заключенной между точками О(0,0) и , если .

4. Вычислить площади цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу плоскостью , а сверху поверхностью , при условии, что известна направляющая этой цилиндрической поверхности:

а) , ;

б) , ( ).

5. С помощью криволинейного интеграла первого рода найти координаты центра тяжести кривых:

а) , ;

б) ( ).

6. Вычислить криволинейный интеграл:

а) ,

по разным путям, соединяющим точки , , :

1) - отрезок ОА;

2) - ломаная ОВА;

3) - ломаная ОСА;

4) - парабола, соединяющая точки и и симметричная относительно оси .

5) проверить выполнение условия Грина.

б)

по разным путям, соединяющим точки , , , :

1) ;

2) ;

3) ;

4) - дуга параболы .

в) ,

взятый вдоль различных путей, соединяющих точки , , , :

1) - отрезок ОА;

2) - парабола с осью симметрии , проходящая через точки О и А;

3) - парабола, проходящая через точки О и А с осью симметрии ;

4) - ломаная ОВА;

5) - ломаная ОСА.

7. Вычислить:

а) где - дуга кривой , , пробегая от точки к .

б) , где линия L – задана уравнениями , , .

в) , где L – дуга параболы , соединяющей точки и .

8. Вычислить криволинейные интегралы:

а) .

б) .

9. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:

а) где - окружность , пробегаемая против часовой стрелки.

б) - эллипс .

10. Найти работу силы:

а) F= i+ j при перемещении материальной точки вдоль контура прямоугольника с вершинами , , , .

б) F= i+ j при перемещении материальной точки вдоль эллипса

.

11. Вычислить поверхностные интегралы первого рода:

а) , где часть плоскости при условии , , .

б) , часть плоскости , лежащая в первом октанте.

в) где - боковая поверхность конуса ( ).

12. Вычислить следующие интегралы второго рода:

а) где у – внешняя сторона тетраэдра, ограниченного плоскостями , , , .

б) где - внешняя сторона эллипсоида

в) , где у – внешняя сторона сферы

13. Найти поток вектора:

а) F i j k через поверхность тела

в направлении внешней нормали.

б) F 2xi-yj через часть поверхности цилиндра , , , в направлении внешней нормали.

14. Найти массу поверхности:

а) куба , , , если поверхностная плотность в каждой точке равна .

б) куба , , , если поверхностная плотность в каждой точке равна .

Сыктывкарский государственный университет