§2. Криволинейный интеграл второго рода
Определение криволинейного интеграла второго рода
Пусть на кривой определены две ограниченные функции и . Разобьем кривую на п равных частей точками , , …, , , …, . На каждой из полученных дуг возьмем произвольную точку . Обозначим через и проекции дуги на оси координат. Затем составим интегральную сумму для функции [ ]:
Пусть d – наибольшая из длин дуг . Если функция ( ) непрерывна в точках кривой , то при существует предел интегральных сумм, не зависящий от способа разбиения кривой на части и выбора точек . Этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции [ ] по кривой и обозначается
Сумму криволинейных интегралов
называют полным криволинейным интегралом второго рода.
Криволинейный интеграл второго рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. В частности,
т. е. криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направления интегрирования.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Предположим, что кривая задана в явном виде непрерывно дифференцируемой функцией , . Тогда
Если задается параметрическими функциями , , , то
Это равенство можно распространить и на пространственный случай (аргументы функций P, Q, R для краткости опускаем):
где , , , - параметрические уравнения кривой .
Приложения криволинейного интеграла второго рода
Интеграл
можно представить в виде скалярного произведения векторов F=Pi+Qj и ds=i·dx+j·dy:
.
В таком случае
выражает работу переменной силы F=Pi+Qj при перемещении материальной точки вдоль кривой от точки А до точки В.
При А= В кривая замкнута, а соответствующий криволинейный интеграл по замкнутой обозначается так:
.
В этом случае направление обхода контура поясняется стрелкой на кружке, расположенном на знаке интеграла.
Предположим, что в плоскости имеется односвязная область , ограниченная кривой ( -обозначение границы области ), а в области и на границе функции и непрерывны вместе со своими частными производными.
Теорема. Пусть А и В – произвольные точки области , и - два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис. 32). Тогда следующие условия равносильны:
1. (условие Грина).
2. (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).
3. (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).
4. (выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции ).
Рис. 32.
В случае выполнения любого из равносильных условий теоремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки и из области , можно вычислить при помощи формулы Ньютона – Лейбница
,
где - некоторая первообразная для может быть найдена при помощи криволинейного интеграла
.
В этих же условиях на функции и , а также на область , имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу
.
Считаем, что обход границы области в криволинейном интеграле
совершается в положительном направлении, т.е. при таком обходе границы область остается слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.
Также площадь области может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла второго рода:
.
Пример 1. Даны функции , и точки , , . Вычислить криволинейный интеграл
,
где:
1) - отрезок ОА;
2) - ломаная ОВА;
3) - ломаная ОСА;
4) - парабола, симметричная относительно оси и проходящая через точки О и А;
5) проверить выполнимость условия Грина.
Рис. 33.
Пути интегрирования, соответствующие пунктам 1) – 4), изображены на рис.33.
1) Отрезок ОА может быть записан в виде: , . Тогда и
.
2) Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по отрезкам и . Тогда:
а) : здесь , , т.е. , откуда
б) : , , т. е. , и
Таким образом,
3) Этот интеграл вычислим аналогично предыдущему.
а) : , (т. е. ), , откуда
б) : , , , следовательно,
Окончательно
4) Подставим координаты точки в равенство найдем уравнение данной параболы При этом и , откуда (путь ОА по параболе обозначим )
5) Имеем
, ,
т. е. условие Грина не выполняется. Вычисления в пунктах 1) – 3) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл второго рода зависит от пути интегрирования.
Пример 2. Вычислить интеграл
,
где - верхняя половина эллипса , пробегаемая по ходу часовой стрелки.
Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: , , , т. е. , . Подставляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда следует, что меняется от π до 0), получаем
Пример 3. Вычислить
по дуге винтовой линии при изменении от 0 до .
Сначала найдем дифференциалы переменных: .
Выразим подынтегральное выражение через , сводя исходный интеграл к
определенному:
Пример 4. Показать, что интеграл
не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки и , и вычислить его.
Проверим условие Грина. Положим , . Тогда ,и, значит, данный интеграл действительно не зависит от пути интегрирования. Для вычисления данного интеграла в качестве пути интегрирования возьмем отрезок, соединяющий точки O и B . Отрезок OB можно задать так: , . При этом , и интеграл легко сводится к определенному интегралу.
.
Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L – отрезок, соединяющий точку с точкой .
Составим параметрические уравнения отрезка CD, используя уравнения прямой, проходящей через две точки:
Отсюда , , , . Далее, находим , , , подставляем все нужные выражения в данный интеграл, обозначенный через J, и вычисляем определенный интеграл:
Пример 6. Проверить, является ли выражение
полным дифференциалом некоторой функции и если да, то найти эту функцию.
Обозначим . Тогда
.
Таким образом, условие Грина имеет место при .
Следовательно, данное выражение есть полный дифференциал некоторой функции , которая может быть найдена как криволинейный интеграл
,
где - произвольная фиксированная точка плоскости , не лежащая на оси (так как ). Положим , а в качестве пути интегрирования выберем путь , изображенный на рис. 34.
Тогда сокращенно можно написать
Рис. 34.
Имеем: 1) , т.е. и
.
2) : - фиксировано, следовательно, , откуда
3) Таким образом,
Проверка показывает, что действительно,
Пример 7. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный интеграл
в двойной и с его помощью вычислить интеграл по контуру прямоугольника (рис.35), где , , , .
Рис. 35.
Имеем , , откуда
Таким образом, в силу формулы Грина данный интеграл равен двойному интегралу от по прямоугольнику , т. е.
Пример 8. Вычислить площадь эллипса при помощи криволинейного интеграла.
Запишем эллипс в параметрической форме , , , после чего воспользуемся формулой для площади области
Пример 9. Вычислить работу силового поля F=yi – xj при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса
из точки в точку .
Работа силового поля F=Pi+Qj при перемещении материальной точки вдоль линии равна
.
Запишем дугу эллипса в параметрической форме: , , . Тогда , и
Контрольные вопросы:
Дайте определение криволинейного интеграла второго рода от функции .
Что называется полным криволинейным интегралом второго рода?
Зависит ли криволинейный интеграл второго рода от пути интегрирования?
Приведите формулу Грина.