25 Кафедра математического анализа

Методические указания по математике для самостоятельной работы студентов специальности «Геология»

Глава 3. Криволинейные и поверхностные интегралы

§1. Криволинейный интеграл первого рода

Определение криволинейного интеграла первого рода

Рассмотрим на плоскости некоторую гладкую кривую , предположим, что функция определена на кривой . Разобьем кривую на п произвольных частей точками , выберем на каждой из частичных дуг произвольную точку и составим сумму

где - длина дуги . Полученная сумма называется интегральной суммой первого рода для функции , заданной на кривой .

Обозначим через d наибольшую из длин дуг , т. е. . Если при существует предел интегральных сумм (не зависящий от способа разбиения кривой на части и выбора точек ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой и обозначается

или .

Криволинейный интеграл первого рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл (аддитивность, линейность, оценка модуля, теорема о среднем). Но есть отличие:

т. е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:

1. Если кривая задана непрерывно дифференцируемой функцией , , то

при этом выражение называется дифференциалом длины дуги.

2. Если кривая L задана параметрически, т. е. в виде , , где , - непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке , то

Это равенство распространяется на случай пространственной кривой , заданной параметрически: , , , . В этом случае, если - непрерывная функция вдоль кривой , то

3. Если плоская кривая задана полярным уравнением , то

Приложения криволинейного интеграла первого рода

1. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл

равен длине кривой , т. е.

2. Пусть в плоскости задана гладкая кривая , на которой определена и непрерывна функция двух переменных . Тогда можно построить цилиндрическую поверхность с направляющей и образующей, параллельной оси и заключенной между и поверхностью . Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле

3. Если - материальная кривая с плотностью, равной , то масса этой кривой вычисляется по формуле

.

4. Статические моменты материальной кривой относительно координатных осей и соответственно равны

, ,

где - плотность распределения кривой , а , - координаты центра тяжести (центра масс) кривой .

5. Интегралы

, ,

выражают моменты инерции кривой с линейной плотностью относительно осей , и начала координат соответственно.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

где - дуга параболы , заключенная между точками и (8,4).

Найдем дифференциал дуги для кривой . Имеем

,

Следовательно, данный интеграл равен

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

где - контур треугольника с вершинами , , (рис. 30).

Поскольку

то остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков , и :

Рис. 30.

1) : так как уравнение прямой имеет вид , то . Учитывая, что меняется от 0 до 1, получим

2) : рассуждая аналогично, находим , , , откуда

3) : , , .

4) Окончательно

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

,

где - окружность (а>0).

Введем полярные координаты , . Тогда, поскольку , уравнение окружности примет вид , т.е. , а дифференциал дуги

При этом . Следовательно,

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с тремя переменными

где - дуга кривой, заданной параметрически , , , .

Перейдем в подынтегральном выражении к переменной . Имеем для подынтегральной функции:

Теперь выразим через дифференциал :

Таким образом,

Пример 5. Вычислить площадь части боковой поверхности кругового цилиндра , ограниченной снизу плоскостью , а сверху поверхностью

Искомая площадь вычисляется по формуле

где - окружность . Поверхность цилиндра и поверхность симметричны относительно координатных плоскостей и , поэтому можно ограничиться вычислением интеграла при условиях , , т. е. вычислить четверть искомой площади. Имеем

,

Следовательно,

Получим определенный интеграл, который вычисляем с помощью подстановки , откуда

, , .

Пример 6. Вычислить массу и координаты центра тяжести однородной дуги циклоиды , , .

Имеем , , где

, , .

Находим , и по отдельности: , ,

Следовательно,

.

Рис. 31.

Из рис. 31 видно, что циклоида симметрична относительно прямой , поэтому . Таким образом, учитывая равенство

,

получаем, что . Вычислим теперь :

Окончательно получаем:

, , , , .

Пример 7. Найти моменты инерции относительно координатных осей и начала координат четверти окружности , , . Плотность распределения масс дуги постоянна и равна .

Данная кривая (четверть окружности) симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла. Тогда и одинаковы, т.е.

.

Переходя к параметрическим уравнениям окружности , , , откуда , получаем

Таким образом ,

Контрольная работа:

1. Дайте определение криволинейного интеграла первого рода от функции по кривой АВ.

2. Зависит ли криволинейный интеграл первого рода от пути интегрирования?

3. Приведите формулу для вычисления криволинейного интеграла по кривой, заданной параметрическими уравнениями?

4. Приведите формулу для вычисления массы кривой с плотностью .

5. Приведите формулу для вычисления статического момента кривой относительно оси Ох.