Обработка экспериментального графика методом наименьших квадратов

Зависимость измеряемой величины у от условий опыта х может быть найдена графически, если нанести значения х и у на миллиметровую бумагу и построить плавную кривую так, чтобы точки равномерно распределились по обе стороны кривой

(рис. 1). Задача состоит в том, чтобы по результатам опытов построить такую кривую у = f(x), относительно которой разброс (отклонения) экспериментальных точек был бы минимальным.

Tеория вероятности показывает, что наилучшее приближение к истинной зависимости у = f(x) дает кривая, построенная методом наименьших квадратов. В этом случае сумма квадратов отклонений экспериментальных значений у_i от кривой у = f(x) будет минимальна. Отсюда и происходит название данного метода обработки результатов эксперимента.

1. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для случая, когда между измеряемыми величинами хиу существует линейная зависимость

. (1)

Рис. 1. Метод наименьших квадратов

Пусть в результате эксперимента получено п различных значений величины у_i, соответствующих различным значениям величины х_i . Найдем коэффициент b, при котором экспериментальные точки у_i будут иметь наименьшие отклонения Δу_i относительно прямой.

Отклонение каждого значения у_i от прямой у = bх будет

. (2)

Составим сумму квадратов отклонений:

( 3)

О тклонение (разброс) измеренных значений у_i от функции у = f(x) будет минимальным, если

(4)

Дифференцирование (3) по переменной b (предположив, что все остальные величины постоянны) с учетом (4) дает

или (5)

Отсюда определяем искомый коэффициент b.

(6)

2. В случае линейной зависимости между величинами х и у, которая аппроксимируется прямой, не проходящей через начало координат,

y = a + bx, (7)

коэффициенты а и b могут быть вычислены по формулам

(8)

Пример: предположим, что мы провели эксперимент и получили данные, которые занесли в табл. 1.

Таблица 1

Номер измерения i	1	2	3	4	5
xi	1,0	1,9	3,1	4,0	4,9
yi	1,6	2,5	3,0	3,7	4,6

Для упрощения расчетов составим вспомогательную таблицу и заполним ее.

Таблица 2

Номер измерения i	xi	yi	xi уi	xi2
1	1,0	1,6	1,6	1,0
2	1,9	2,5	4,75	3,61
3	3,1	3,0	9,3	9,61
4	4,0	3,7	14,8	16,0
5	4,9	4,6	22,54	24,01
Σ	14,9	15,4	52,99	54,23

Рассчитаем коэффициенты а и b

Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть следующим образом: у = 0,928 + 0,722 х .

Для построения отрезка прямой линии найдем две точки,

у₁ = 0,928. Вторую точку получим, подставив в уравнение прямой значение х, равное, например, 5.

у₂ = 0,928 + 0,722 5 = 4,538 .

На листе миллиметровой бумаги проведем оси координат, причем ось у проведем вертикально, а ось х – горизонтально.

Рис. 2

Выберем и нанесем на оси координат масштаб так, чтобы наши экспериментальные точки располагались на графике наилучшим образом – занимали на графике максимальную площадь. Нанесем на график экспериментальные точки и две точки у₁ и у₂, рассчитанные нами (рис. 2). Для обозначения экспериментальных и «теоретических» точек используем разные обозначения (кружки, крестики, треугольники и т. п.).

Через две «теоретических» точки проведем отрезок прямой линии. При правильных расчетах линия пройдет на графике наилучшим образом, так, что экспериментальные точки будут располагаться справа и слева от прямой. Все построения желательно делать карандашом.

Список рекомендуемой литературы

1. Братухин Ю. К. Обработка результатов измерений: учеб. пособие / Ю.К.Братухин, Г.Ф.Путин, – Пермь.: Изд-во Перм. гос. ун-та, 1988.– 44 с.

2. Колесниченко В.И. Обработка и представление результатов эксперимента. / В.И.Колесниченко – Пермь; – Перм.. гос. техн. ун-т, 2000. – 74 с.

3. Сборник методических рекомендаций к лабораторным работам по физике. 1. Механика: учеб.пособие / под ред. В.М. Коровина, – Перм. гос. ун-т. – Пермь, 1997.- 87 с.

4. Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин: учеб. пособие / А.Н.Зайдель. – Л.: Наука, 1985.– 108 с.

5. Общий физический практикум. Механика / Под ред. А.Н. Матвеева, Д.Ф. Киселева. – М.: Изд-во МГУ, 1991.– 272 с.

6. Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. Механика : учеб. пособие / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989.– 496с.

7. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1.: учеб. пособие / Д.В.Сивухин. – М.: Наука, 1989.– 576 с.

8. Общая физика. Ч.2. Молекулярная физика и термодинамика: учеб. пособие / под ред. Ю.Л. Райхера, Перм. политехн. ин-т. – Пермь, 1998. – 81с.