Механика жидкости и газа. Ответы на экзаменационные вопросы.

1. Введение. Предмет и прикладное значение дисциплины. Основные понятия, терминология, модели жидкости.

Механика жидкости и газа – наука, изучающая законы движения сжимаемых и несжимаемых легкоподвижных сред, взаимодействие и силы взаимодействия движущихся сред с твердыми и упругими телами, исключая вопросы движения разряженных сред; часть механики сплошных сред; изучает термодинамические процессы, протекающие в движущихся газах.

Капельная жидкость – такие жидкости, которые будучи предоставленными сами себе (состояние невесомости, равнодействующая всех действующих сил равна нулю), под действием сил поверхностного натяжения принимают шарообразную форму. В этих жидкостях действуют сильные межмолекулярные силы и силы поверхностного натяжения, которые препятствуют полному заполнению жидкостью любого выделенного объема (исключая случаев притока жидкости или явления кавитации).

Сжимаемые жидкости – газы, в них действуют небольшие межмолекулярные силы и отсутствуют силы поверхностного натяжения. Вследствие этого газы не собираются в капли и полностью заполняют весь предоставленный им объем. В некоторых случаях сжимаемостью газов пренебрегают, рассматривая их как капельную жидкость.

Обе модели жидкости обладают легкоподвижностью - способностью сколь угодно сильно деформироваться под действием сколь угодно малых срезающих напряжений.

3. Ротор вектора скорости и его физический смысл в вихревом сечении, теорема Стокса. Правила действий с оператором Гамильтона.

Ротор представляет собой угловую скорость вращения твердого тела с точностью до числового множителя. Направление ротора – направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение, по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S. Связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между производной по направлению и градиентом.

Циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль кривой . Вдоль замкнутых векторных линий циркуляция не равна нулю, так как в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак, положительный при совпадении вектора с направлением обхода векторной линии и отрицательной в обратном случае.

Свойства ротора:

1) , если постоянный вектор;

2) , ;

3)

4)

Формулу Стокса можно записать в векторной форме:

Эта формула показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого вектора через поверхность , лежащую в поле вектора и ограниченного контуром . Используя формулу Стокса, можно дать другое определение ротора вектора – это вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора по контуру плоской площадки , перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки. Это векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Оператор Гамильтона служит для удобства записи основных операций над скалярным ( ) или векторным ( ) полем – , , (векторные дифференциальные операции первого порядка). Он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

Символическое умножение вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а умножение символов на величины как взятие соответствующей частной производной от этих величин.