3. Эквивалентные переходы.

Связи проводимостей и сопротивлений являются сутью метода переходов. Этот метод позволяет сделать эквивалентный переход от последовательного соединения двух сопротивлений: активного R и реактивного X_L (рис.6а) к параллельному соединению активного и реактивного сопротивлений (рис.6б), но и с другими значениями параметров R*, X_L *.

Причем в случае схемы (6б) ветви однородные , поэтому g = 1 / R*, b_L = 1 / X_L *.

Принцип эквивалентности подразумевает, что полное сопротивление Z’ первого (последовательного) соединения , равно полному сопротивлению Z’’ второго (параллельного) соединения Z’ = Z’’ = Z . Кроме того, сдвиги фаз между полными токами и напряжениями для первого и второго соединения равны φ’=φ’’=φ .

Выразим проводимости второй схемы g и b_L через сопротивление X_L и R первой схемы. Для этого нарисуем векторную диаграмму напряжений (рис.7а) для схемы 6а, и диаграмму токов (рис.7б) для схемы 6б, и так как φ’=φ’’ совместим их, повернув диаграммы (рис.7в).

а) б) в)

Рис. 7

Для схемы 6б по определению g = I_a / U. Из треугольника токов (рис.7б)

I_a = U cosφ . Из треугольника напряжений видно cosφ= U_a /U = R /Z. Совмещая эти суждения имеем:

g = I_a / U= I cosφ/U =I R / UZ = R/Z² = R/ (R²+X_L ² ) (5)

Аналогично для:

b_L = I_L / U= I sinφ/U =I X_L / UZ = X_L /Z² = X_L / (R²+X_L ² ) (6)

Проанализируем выражение (5)

1. Необычно, что активная составляющая проводимости зависит от X_L.

2. Если X_L → 0, то g = I/R, что совпадает с (2) для однородной ветви.

3. Если R → ∞, то g → 0.Это естественно.

4. Если R → 0, то и g → 0,что, конечно, менее привычно.

Понять последние два положения (3) и (4) поможет построение и сопоставление векторных диаграмм . Пусть имеется участок цепи (рис.6а), в котором X_L = const, а R растет последовательно принимая значение 0, ( 1/2X_L ,X_L , 3X_L ). На рис.8 представлены 4 диаграммы токов для этих случаев. Фазы напряжений U приняты равными π/2 рад; tgφ = X_L / R. Обратите внимание на модуль тока I = U / Z и на его проекцию на вектор напряжений , т.е.на I_a =gU. Отсюда понятно поведение g = f(R). Из (5) самостоятельно определите R, при котором g максимально. Аналогичный анализ проделайте с выражением (6) для b_L.

Рис.8

Полная проводимость цепи (рис.6.б.) равна: Подставляя выражение (5) для g и (6) для b_L после несложных преобразований получим ,т.е.полная проводимость Y’’ параллельной цепи (рис.6б) есть величина обратная полному сопротивлению последовательной цепи (рис.6а).

Таким образом, полная проводимость всегда величина обратная полному сопротивлению Z, чего нельзя сказать про составляющие R и g, а также X_L и b_L .

_{Для участка содержащего последовательно} соединенные R₂ и X_C (нижняя ветвь рис.3) эквивалентным будет параллельный участок с проводимостями (7)

Проделайте упражнение 3.