Имеет бесконечно много решений, которые определяют прямую пересечения плоскостей, заданных уравнениями (4.23).

Вопрос №14. Общие уравнения прямой в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где  — координаты некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой;  — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где  — координаты некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой;  — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общие уравнения прямой в пространстве.

  Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

  Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:

 + D = 0, где

- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

  Пусть в пространстве заданы две плоскости:  + D₁ = 0 и  + D₂ = 0, векторы нормали имеют координаты: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂); (x, y, z).

  Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

 Общие уравнения прямой в координатной форме:

Вопрос №15

Вопрос №16. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Точка пересечения прямой и плоскости.

Вопрос №17. Эллипс (определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение)

Т.к. То получаем Или

Вопрос №18. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности

расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Вопрос №19. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково

удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой

называется параметром параболы и обозначается через р>0.

Вопрос №20

Вопрос №21

Вопрос №22

Односторонний предел— предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны.

Теорема. Функция f (x) имеет в точке х0 конечный предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Вопрос №23

Неопределённости

Говорят о неопределённостях для разности { xn - yn} расходящихся последовательностей { xn} и { yn}, когда хn→ + ∞ и yn → + ∞ при n → ∞.

Говорят о неопределённостях для частного {xn/ yn} последовательностей {xn} и {yn}, когда xn → + ∞ и yn → + ∞ или когда xn→ 0 и yn→ 0 при n → ∞.

Говорят о неопределённостях для произведения {xn·yn} для последовательностей { xn} и { yn}, когда xn→ + ∞ и yn→ 0.

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Вопрос №24

Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х0, если

Свойства: алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x0, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x → x0.

Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x0 справедливо и для бесконечно малых функций при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x0 – 0, x → x0 + 0.

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x0 (или x → x0), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х0 | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.

В этом случае пишут и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х0 , или что она имеет бесконечный предел в точке х = х0.

Пусть f (x) бесконечно большая функция при x→ x0, a g (x) такая функция , что g(x) > h > 0 в некоторой δ - окрестности точки х0. Тогда f (x)·g(x) – бесконечно большая функция:

Связь: Если f (x) — бесконечно большая функция, то есть бесконечно малая функция в этой же точке.

Вопрос№25 Теорема о связи между пределом и бесконечно малой. Используя эту теорему доказать, что предел суммы равен сумме пределов.

Вопрос №26 Доказать первый замечательный предел.

Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере, при условии стремления этой дуги к нулю.

1е зам пределы

Вопрос №27 Второй замечательный предел

Вопрос № 28

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть при x→a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

1. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).

2. Если , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одногопорядка.

3. Если , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительноg(x).

Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ≈ g.