45)Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Примеры.
О пределение
С овокупность векторов называется линейно зависимой (ЛЗС),
е сли найдутся числа , не равные нулю одновременно, такие, что выполняется равенство:
В противном случае совокупность называется линейно независимой (ЛНС).
П окажем, что система столбцов
линейно зависима.
Д ействительно,
О чевидно, что полученная СЛУ имеет нетривиальные решения (например, ).
П окажем, что система многочленов линейно независима.
Д ействительно,
46)Евклидово пространство. Определение и простейшие свойства скалярного пространства.
О пределение.
Д ействительное линейное пространство E называется евклидовым пространством , если каждой паре векторов X и Y из E поставлено в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением векторов X и Y, причем выполнены следующие условия:
1 ) ;
2 ) ;
3)
47)Длина вектора. Угол между векторами. Ортогональность векторов.
О пределение.
Д линой вектора X называется число
Если , то вектор X называется нормированным.
А лгебраические свойства длины вектора:
1 ) ;
2 ) ;
3) .
Угол между векторами.
Углом между векторами и называют угол ,для которого ,
Ортогональные векторы.
Векторы ортогональны, если
4 8)Скалярное произведение в Rn. Длина вектора и угол между векторами в Rn.
Определение.
Скалярным произведением векторов
н азывается число
С войства скалярного произведения выполнены:
1 ) ;
2 ) ;
3 ) ;
4) причем
Д лина вектора.
Определение.
Длиной вектора называется число
Угол между векторами.
Угол между ненулевыми векторами
в пространстве Rn :
У словие ортогональности векторов:
49)Неравенство Коши-Буняковского.
Д ля любых векторов X и Y евклидова пространства E справедливо неравенство Коши-Буняковского
к оторое позволяет следующим образом определить угол между ненулевыми векторами:
Ненулевые векторы E называются ортогональными, если
50)Построение ортогональго базиса в Rn.
Задача.
П роверить ортогональность системы векторов
и дополнить ее до ортогонального базиса.
Р ешение.
Д ля определения достаточно найти какое-либо
р ешение системы
Д ля определения e4
51) Ортонормированный базис.
О пределение.
Б азис n-мерного евклидова пространства называется ортонормированным, если
Другими словами, ортонормированным базисом называется базис, состоящий из попарно ортогональных векторов, каждый из которых имеет длину, равную единице
52)Процесс ортогонализации Шмидта.
Теорема (об ортогонализации)
В любом подпространстве евклидова пространства E
можно выбрать ортонормированный базис.
Е сли задан произвольный базис , то векторы
где , образуют ортогональный базис,
а - ортонормированный базис.
53)Ортогональное дополнение подпространства Rn. Определение и свойства.
Определение
О ртогональным дополнением подпространства U из Rn называется подпространство, состоящее из векторов, ортогональных любому вектору из U.
С войства ортогонального дополнения:
5 4)Расстояние и угол между вектором и подпространством.
Ортогональная составляющая
Проекция
Д ля нахождения w и q достаточно найти какие-либо два решения системы
Z
Y
5 5) Определение линейного оператора. Пример.
Л инейным оператором в линейном пространстве L называется всякое отображение A : L → L пространства в себя, ставящее каждому
е динственный элемент , и обладающее
свойствами
Пример 1.
Я вляется ли отображение A: R3→ R3
— поворот пространства R3 на угол p относительно вектора k=(0,0,1) — линейным оператором?
Отображение A является линейным оператором.
Пример 2.
Я вляется ли отображение A : R3→ R3
л инейным оператором?
Отображение A не является линейным оператором.
5 6)Матрица линейного оператора. Определение и пример.Пусть A – линейный оператор в конечномерном
пространстве Ln и – некоторый фиксированный базис.
Р азложим векторы Aek по базису B:
Т огда матрица
называется матрицей оператора A в базисе B.
Пример 3.
Оператор A: R3→ R3 поворота пространства R3
на угол p относительно вектора k=(0,0,1)
является линейным оператором.
Е го матрица в ортонормированном базисе
имеет вид
Пример 4.
Л инейные операторы A и B действуют в R3
следующим образом:
для всех x из R3
57)Ядро и образ линейного оператора. Определение и пример.
Ядром линейного оператора называется множество элементов из L , образом которых является нулевой элемент.
Я дро оператора обозначают Ker(A) :
Ядро линейного оператора - линейное пространство.
Рассмотрим линейный оператор A , действующий в конечномерном линейном пространстве L .
О бразом линейного оператора называется
П ример(о.п.):
П роверить, принадлежат ли векторы u и v образу оператора.
Е сли базисные столбцы матрицы оператора и рассматриваемый вектор образуют линейно зависимую систему, то вектор принадлежит Im(A). В противном случае вектор не прина-длежит Im(A) .
1.
В ектор u принадлежит Im(A) .
2.
Вектор v не принадлежит Im(A) .
П ример(я.о):
П роверить, принадлежат ли векторы x и y ядру оператора A.
Е сли для рассматриваемого вектора w Aw=O ,то . В противном случае
1.
В ектор x не принадлежит Ker(A) .
2.
Вектор y принадлежит Ker(A) .
58)Преобразование матрицы линейного оператора при преобразовании базиса.
О пределение.
М атрицей перехода от базиса к базису называется матрица
,
k-й столбец которой есть столбец координат вектора в базисе B.
59)Приведение матрицы оператора к диагональному виду.
Пусть A и A’ – матрицы оператора A в базисахB и B’, а T = TB→B’ – матрица перехода от базисаB к базису B’.
Т огда формула преобразования матрицы оператора при преобразовании базиса имеет вид
Если оператор A, действующий в пространстве Ln , имеет n линейно независимых собственных векторов e1, e2, … , en , соответствующих собственным числам
λ 1, λ2, … , λn , то в базисе из этих векторов матрица оператора A имеет диагональный вид
60)Квадратичная формула. Определение и пример.
К вадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от нескольких переменных над полем вещественных чисел.
П усть - переменные. Тогда
- квадратичная форма в R2.
- квадратичная форма в R4.
61)Матрица квадратичной формы. Определение и пример.
М атричной записью квадратичной формы называется следующее выражение:
6 2)Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Определение и пример.
П усть в некотором базисе выражение квадратичной формы не содержит произведений , т.е.
Т огда выражение (*) называется каноническим видом квадратичной формы.
В частности, если
то получаем нормальный вид квадратичной формы.
63) Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Идея метода Лагранжа. Пример.
Любую вещественную квадратичную форму невырожденным линейным преобразованием переменных можно привести к диагональному виду, т.е. преобразованная квадратичная форма состоит только из квадратов новых переменных с некоторыми коэффициентами.
Пример:
К вадратичная форма принимает канонический(диагональный) вид
П ри этом
64) Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Идея метода собственных векторов. Пример.
65) Теоремы об ортогональном преобразовании вещественных квадратичных форм.
Л юбую вещественную квадратичную форму можно привести к диагональному виду при помощи линейного преобразования переменных с ортогональной матрицей.
П усть , где
Т огда существует
где – собственные числа матрицы А, а столбцы матрицы С – собственные векторы,