1)Матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
О пределение
М атрицей размера m х n называется прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы),
Обозначения
Суммой A+B матриц размера mхn и называется матрица того же размера,
к аждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B :
П роизведением числа и матрицы
н азывается матрица , получающаяся из матрицы A умножением всех ее элементов на :
2 )Умножение матриц. Определение и свойства.
П роизведением AB матрицы размера mхn и матрицы размера nхk называется матрица размера mхk , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B :
A(B+C) = AB + AC
(A+B)C = AC + BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
А(ВС)=(АВ)С
3)Некоммутативность умножения матриц. Примеры.
Д ля матриц, вообще говоря, АВ ≠ ВА
Пример:
Если АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутирующими.
4)Единичная матрица. Свойства.
Д ля квадратных матриц определена единичная матрица порядка n – квадратная матрица nxn , все диагональные элементы которой равны единице, а остальные – нулю:
Для любой квадратной матрицы А выполнено:
АЕ = ЕА = А
5 )Транспонированная матрица. Свойства.
A - матрица размера m x n
- матрица размера n x m ,называется транспонированной для A
О бозначения:
Н екоторые свойства:
6 )Определители 2-го и 3-го порядка.
О
+
пределителем 2-го порядка, соответствующим матрице A (определителем матрицы А),называется число
-
О пределителем 3-го порядка, соответствующим матрице A , называется число
П
-
равило Саррюса1
-
+
+
2
-
+
3
1
2
7 )Определение определителя n-го порядка.
О пределителем n-го порядка, соответствующим матрице A, называется число detA, равное сумме всех произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки и снабженных знаком «+» или «-» по определённому правилу – «правилу знаков».
Число t (s) равно числу транспозиций, которое нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки (1,2,…,n) к перестановке
8)Свойства определителя.
1.Умножение некоторой строки (столбца) матрицы определителя на некий коэффициент равносильно умножению самого определителя на этот коэффициент.
Е сли все элементы некоторой строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя).
2.Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицы равны нулю, то и определитель равен нулю.
3.При перестановке двух строк (столбцов) между собой величина определителя меняет лишь знак.
4.Определитель не меняется при транспонировании (свойство равноправности строк и столбцов матрицы).
5.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
6.Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
7.Если в определителе некоторая строка (столбец) есть сумма двух других строк (столбцов), то определитель равен сумме двух определителей с этими строками (столбцами) , а все остальные строки (столбцы) этих определителей равны строкам (столбцам) исходного определителя.
8.Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то величина определителя не изменится.
9 )Минор. Связь между минором и алгебраическим дополнением матрицы.
М инором соответствующим элементу определителя n-го порядка, называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Справедливо следующее равенство
1 0)Алгебраическое дополнение элемента матрицы. Разложение определителя по строке(столбцу).
А лгебраическим дополнением элемента называется следующий определитель n-го порядка
i-ая строка
j-й столбец
Разложение определителя
По элементам i-й строки:
По элементам j-го столбца:
11)Определитель верхнетреугольной матрицы. Примеры
О пределитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
12)Определитель клеточно-диагональной матрицы. Примеры.
О пределитель клеточно-диагональной матрицы равен произведению определителей матриц, являющихся клетками исходной матрицы.
А=
13) Метод элементарных преобразований
Матрица определителя приводится элементарными преобразованиями над строками (или столбцами) к верхнетреугольному виду.
О пределитель полученной матрицы вычисляется как произведение диагональных элементов:
1 4)Метод понижения порядка
М инором соответствующим элементу определителя n-го порядка, называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
С праведливо следующее равенство
Разложение определителя по i-ой строке
15)Метод рекуррентных соотношений
Метод позволяет выразить данный определитель, преобразуя его (например, разлагая по строке или столбцу), через определитель того же вида, но более низкого порядка
17)Определитель Вандермонда.
П окажем, что при любом n (n≥2) определитель Вандермонда равен произведению всевозможных разностей вида
18)Обратная матрица. Определение и простейшие свойства.
Квадратная матрица А называется обратимой, если найдётся квадратная матрица В такая, что выполняются равенства:
А . В = В . А = Е
В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается
В = А-1
Е сли квадратные матрицы А и В обратимы, то справедливы следующие соотношения
Доказательство:
19)Теорема об условии существования обратной матрицы
Д ля того чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля, т.е. чтобы А была невырожденной. При этом
2 1) Методы построения обратной матрицы: метод присоединенной матрицы
П рисоединенная матрица определяется как транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A :
С праведливо равенство
Из теоремы следует, что если A – невырожденная матрица, то
20) Методы построения обратной матрицы: метод элементарных преобразований
Элементарные преобразования матрицы:
перестановка строк (столбцов);
умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
прибавление к элементам строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.
Для данной квадратной матрицы A n-го порядка строят прямоугольную матрицу ГА = ( A | E ) размера nх2n, приписывая к A справа единичную матрицу.
Используя элементарные преобразования над строками, приводят матрицу ГА к виду ( E | B ) , что всегда возможно, если A невырождена. Тогда B = A-1.
2 2) Под системой линейных уравнений (СЛУ) будем понимать:
где – «неизвестные» системы , - коэффициенты системы, m – число уравнений, n – число неизвестных.
Р ешение СЛУ
Р ешением СЛУ называется совокупность чисел ,удовлетворяющая всем уравнениям системы, т.е. обращающая их в верные числовые равенства:
Матричная запись решения СЛУ
23)Равносильные СЛУ. Совместные СЛУ. Примеры
СЛУ называется совместной, если у неё имеется хотя бы одно решение, в противном случае СЛУ называется несовместной.
Две системы называются равносильными, если их множества решений совпадают.
24)Ранг матрицы. Определение и основные свойства
Рангом rgA матрицы А = {aij} называется целое число r , такое, что среди миноров r–го порядка матрицы А имеется хотя бы один, отличный от нуля,
а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю или миноров порядка (r+1) вообще нет.
В ведём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями.
Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): если , то rgA = rgB ё
2 5) Вычисление ранга матрицы. Метод элементарных преобразований.
М етод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к трапециевидному виду, т.е. такому виду, когда все элементы при равны нулю и все строки с номерами i > r являются нулевыми.
Тогда rgA = r
26) Вычисление ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров.
Пусть в матрице найден минор M k-го порядка, отличный от нуля. Рассматривают те миноры (k+1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор M. Если все они равны нулю, то rgA = k.
В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)-го порядка, и вся процедура повторяется.
27)Теорема Кронекера-Капелли
С ЛУ совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы:
28)Теорема о числе решений СЛУ.
Пусть дана совместная СЛУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r .
Тогда:
1. если r = n , то система имеет единственно решение;
2. если r < n , то система имеет бесконечно много решений, причем (n – r) неизвестным можно присвоить произвольные значения, а остальные r неизвестных выражаются через них единственным образом.
29)Правило Краммера для решения СЛУ.
П усть дана совместная СЛУ от n неизвестных
Т огда система имеет единственное решение
где – определитель, получаемый из определителя заменой i -го столбца на столбец свободных членов.
30)Метод Гаусса решения СЛУ
Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы СЛУ элементарными преобразованиями над строками к некоторому специальному виду (треугольному для матрицы коэффициентов) – прямой ход схемы Гаусса и нахождению затем множества решения системы с полученной расширенной матрицей (эта система равносильна исходной) – обратный ход схемы Гаусса.
31)Метод обратной матрицы решения СЛУ
П усть дана совместная СЛАУ от n неизвестных
Т огда существует A-1 и
,т.е.
3 2)Алгоритм решения СЛУ произвольного вида. Общее решение СЛУ.
П усть , т.е. система совместна,
Приведем матрицу A к трапециевидному виду.
О тбросив последние m – r уравнений, запишем укороченную систему, эквивалентную исходной:
Для каждого набора свободных неизвестных
xr+1= с1 , xr+2= с2 , … , xn= сn-r
у короченная система имеет единственное решение:
называемое общим решением исходной СЛУ.
33) Однородная система A.X=0 всегда совместна, т.к. имеет тривиальное решение X=0.
Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось r = rgA < n.
3 6)Собственное число и собственный столбец матрицы. Определение и основные свойства.
С обственным числом квадратной матрицы А порядка n называется такое число , для которого выполняется следующее условие:
При этом столбец называется собственным столбцом матрицы А,соответствующим собственному числу .
37)Характеристический многочлен матрицы и его свойства.
Х арактеристическим многочленом квадратной матрицы А порядка n называется следующий многочлен:
С войства
1 . - многочлен степени n.
2 .
3.
38)Модель Леонтьева (модель межотраслевого баланса)
Р ассматривается n отраслей, каждая из которых производит свою продукцию.
П усть - общий (валовый) объем продукции i-й отрасли; объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства; объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.