Критерий положительной определённости матрицы

Матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все её собственные значения положительны.

Матрица A положительно определена тогда и только тогда, когда существует такая невырожденная матрица B, что A = BT·B.

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры положительны:

Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например,

то полагаем

18. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Самое распространенное математическое приложение скалярного произведения двух векторов - это вычисление угла между векторами, заданными своими координатами.

Два вектора ортогональны при условии равенства нулю их скалярного произведения.

19. Векторным произведением векторов a и b называется число равное произведению длин этих векторов на синус угла между ними

Приложения векторного произведения.

А) Вычисление площадей параллелограмма и треугольника

Б) Векторное произведение позволяет проверить коллинеарность двух векторов

В) Векторное произведение позволяет по двум заданным векторам указать перпендикулярный им вектор.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: 2 вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их смешенное произведение равно 0.

20.Смешаное произведение - число равное объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, взятого со знаком “+”, если векторы образуют правую тройку

приложения смешанного произведения

А) Вычисление объемов пирамиды и параллелепипеда: ,

Б) Смешанное произведение позволяет проверить компланарность трех векторов: компланарны

В) Смешанное произведение позволяет выяснить, когда четыре точки лежат в одной плоскости: Лежат в одной плоскости , , - компланарны

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

21.Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором: A(x-xo)+B(y-yo)=0

22. общее уравнение прямой на плоскости: Ах + Ву + С = 0,причем ( > 0)

Уравнение прямой в отрезках:

23.

24. Углом между двумя прямыми называют угол между их направляющими векторами.

Формула:

Условие параллельности прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов

необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку

25. расстояние от точки до прямой на плоскости:

∣Ax0+By0+С∣

√A2+B2

26. Общее уравнение плоскости : Ах + Ву + Сz + D = 0

уравнение плоскости в отрезках:

уравнение плоскости,заданной точкой и нормальным вектором:A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0

27. уравнение плоскости , проходящей через три точки:

28. Уравнение прямой, проходящей через две точки:

29.

30. Углом между двумя плоскостями называют угол между их нормальными векторами.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю.Это условие выполняется, если:

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: ïï .Это условие выполняется, если:

31.