Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
Таким образом можно описать алгоритм приведения матрицы линейного оператора к диагональной форме.
Он состоит в следующем:
- записываем матрицу оператора A в исходном базисе;
- записываем характеристическое уравнение и вычисляем его корни;
- находим собственный базис оператора (если он существует);
- записываем матрицу C, столбцами которой являются координаты собственных векторов (векторов собственного базиса);
- по формуле C-1AC находим диагональную форму матриц оператора — матрицу оператора в собственном базисе.
15. Евклидово пространство - конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением
Скалярное произведение – это операция, позволяющая находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов.
Нера́венство треуго́льника - Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон
Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве
Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.
16. Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.
Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.
Метод наименьших квадратов получил такое название, потому что после подстановки в начальные уравнения неизвестных величин, выведенных этим способом, в правых частях уравнений получаются если и не нули, то небольшие величины, сумма квадратов которых оказывается меньшей, чем сумма квадратов подобных же остатков после подстановки каких бы то ни было других значений неизвестных. Помимо этого, решение уравнений по способу наименьших квадратов даёт возможность выводить вероятные ошибки неизвестных, то есть величины, по которым судят о степени точности выводов.
Чтобы решить их по способу наименьших квадратов, составляют новую систему уравнений, число которых равно числу неизвестных и которые затем решаются по обыкновенным правилам алгебры. Эти новые, или так называемые нормальные уравнения составляются по следующему правилу: умножают сперва все данные уравнения на коэффициенты у первой неизвестной x и, сложив почленно, получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на коэффициенты у второй неизвестной y и, сложив почленно, получают второе нормальное уравнение и т. д. Если обозначить для краткости:
то нормальные уравнения представятся в следующем простом виде:
17. Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора
Билинейной формой называется функция , линейная по каждому из аргументов:
Закон инерции квадратичных форм гласит: число положительных, отрицательных и нулевых канонических коэфициентов квадратичной формы не зависит от преобразования, с помощью которого квадатичная форма приводится к каноническому виду.
Число положительных канонических коэфициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы. Число отрицательных канонических коэфициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы. Разность между положительным и отрицательным индексами квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы. Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.
Матрица А называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора-столбца X справедливо (A*X)*XT > 0. А - положительно определенная матрица тогда и только тогда, когда все ее собственные числа положительны.
положи́тельно определённая ма́трица - это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или полуторалинейной формой в случае с комплексными числами).
Форма является положительно определеной, тогда и только тогда,когда все её главные (угловые) миноры Δi положительны.