24. Вопрос. Принцип Даламбера для материальной точки и системы. Главный вектор и главный момент сил инерции.

Под принципом в механике будет пониматься утверждение не противоречащее з-ом Ньютона и позволяющее предложить новый способ для решения задач. Принцип Даламбера позволяет свести задачу динамики к задаче статики (метод кинетостатики)

Принцип Даламбера для материальной точки: ma=∑F_k; ∑F_k-ma=0; -ma-сила инерции

-ma=F^инер; ∑F_k+F^инер=0 – принцип Даламбера.

Если к точке кроме действующих на нее сил добавить силу инерции, то получ-ся уравновешенная система сил.

Принцип Даламбера системы матер-х точек: если к каждой точке системы кроме действующих на нее внеш сил добавить силы инерции, то получ-ся уравновешенная система сил, к-е применимы в ур-ии статики.

Др словами: внешние силы и силы инерции образуют пространственную уравновеш

Енную систему сил.

Для решения задач динамики с помощью принципа Даламбера, в первую очередь, необходимо выч-ть главный вектор и главный момент сил инерции, т.е упростить систему сил инерции, а затем решить задачу, используя ур-я статики

Выч-е главного вектора сил инерции

Геом-е условие равновесия: ∑F^e +∑F^ин

Теорема о движении центра масс: Ma_c=∑F^e

R^ин=∑F^ин=-Ма_с

Независимо от вида движения тела, главный вектор сил инерции = произведению массы системы на вектор ускорения центра масс, взятому с обратным знаком.

Вычисление главного момента сил инерции зависит от движения тела:

А) поступательное движение

а_к=а_с для всех к

М_с =∑r_k x F^ин_к==∑r_k x m_кa_k=-Mr_c x a_c=0

Выберем в кач-ве центра приведения сил инерции центр масс системы.

При поступательном движ-ии система сил инерции сводится к равнодействующей = главному вектору сил инерции, приложенной в центре масс системы.

Б) вращ-е движение тела. Пусть центр масс лежит на оси вращения. Затем урав-е равновесия моментов относит-но оси вращ-я ∑m_z(F^e)+∑ m_z(F^ин)=0

Запишем диф ур-е для вращ-го движ-я J_zE=∑m_z(F^e)

M_z^ин=-J_zE ; R^ин=-Ma_c=0

В) плоское движение тела

Выберем в кач-ве полюса центр масс системы

R^ин=-Ma_c; M_с^ин=-J_сE

Замечание 1. При введении сил инерции было учтено, что оба тела двигаются поступательно, т.е использован случай поступательного движ-я

Замечание 2. Из анализа получ-го решения видно, что для уменьшения силы натяжения Т, необходимо более тяжелый груз ставить на 1-е место.

25. вопрос. Определение реакций опор вращающегося тела по принципу Даламбера.

Рассмотрим тело, вращ-ся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w.

Введем систему координат, вращ-ся вместе с телом.

Преимущество такой системы координат заключ-ся в том, что силы инерции в ней будут постоянными.

На тело действует система внеш-х сил: F^e₁, F^e₂,.., F^e_k

Главный вектор и главный момент к-й относ-но т.А выч-ся по формулам: R^e_x=∑F^e_kx, M^e_x=∑m_xR_k^e, при этом М_z^e=0, т.к w=const.

Решение. Применим принцип Даламбера, добавляя силы инерции и составим ур-е равновесия.

R_x^ин=-Ma_c, R_y^ин=-Ma_cy, R_z^ин=0

M^ин_x=∑m_x (F^ин), M^ин_y=∑m_y(F^ин), M^ин_z=0=J_zE

X: x_A+x_в+R^e_x + R_x^ин=0

Y: y_A+y_в+R^e_y + R_y^ин=0

Z: z_A+ R_z^e=0

M_Ax: -y_вAB+M_x^ин+M_x^e=0

M_Ay: x_вAB+M_y^ин=0

M_Az- удовлет-ся тождественно, 0=0

Система ур-й определяет реакции подшипников, опор вращ-ся тела.

Можно показать, что силовые факторы, содержащие силы инерции, можно выч-ть по след-м формулам:

R_x^ин=mw²h_ccosα=mw²x_c

R_y^ин=mw²h_csinα=mw²y_c

R_z^ин=0

M_x^ин=-mw²J_zy

M_y^ин=mw²J_zx

Величины J_zy , J_zx наз-ся центробежными моментами инерции.

Реакции опор вращ-ся тела можно разделить на статич-е и динам-е.

Статич-е р-ии вызваны внеш силами, а динам-е реакции – силами инерции. Причем дин-е р-ии пропорциональны квадрату угловой скорости и могут во много раз првышать статические.

Для того, чтобы дин-е реакции были = 0, необходимо, чтобы центр масс лежал на оси вращения и центробежные моменты инерции были = 0, др словами необходимо выполнить 4 условия: x_c=0, y_c=0, J_zy =0, J_zx=0

Если вып-ся 1-е и 2-е условия, то ось z явл-ся центральной, т.е центр масс лежит на оси вращения, а если центробежные моменты = 0, то ось z наз-ся главной осью симметрии.

Т.о для того, чтобы динам-е реакции были =0, необходимо, чтобы ось вращения была главной центральной осью симметрии.

26. вопрос. Элементы аналитической механики. Обобщенные координаты и обобщенные силы.

Лагранж Жозев Луи (1736-1813)

1788 «аналит-я механика»

1. Основные понятия. Обобщенные координаты системы.

Опред-е: независимые параметры, полностью опред-е положение системы, наз-ся обобщенными координатами.

Число этих параметров наз-ся число степеней свободы (S).

Замечания:1. Декартовые координаты точки можно выразить через обобщенные координаты. S=1, q₁=ф, x_m=lsinф, y_m=lcosф

2. 1-я основная идея аналит мех-ки заключ-ся в решении задач в обобщенных координатах.

ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ.

Если для системы, имеющей S степеней свободы записать работу активных сил на возможных перемещений в след-м виде:

∑δА^а=Q₁δq₁+ Q₂δq₂+…+ Q_sδq_s=∑Q_jδq_j , то величины Q_j, j=1,S будут наз-ся обобщенными силами.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

q₁=m, Q₁=H, q₂=рад, Q₂=Hm, Q₁q₁=Дж

27. вопрос. Элементы аналитической механики. Классификация связей. Возможные перемещения системы.

Связь- это любое ограничение движению тела. В аналит-й мех-ке связь задается с помощью уравнения связи, к-е в общем случае имеет вид: Ф(r₁,r_2,…,r₁’,r₂’,…,t)<=0

Классиф-я связи. В зависимости от вида ф-ии ф связь можно классифицировать как: удерживающая (Ф(..)=0) и неудерживающая(Ф(..)<=0); стационарная (не зависит от t) и нестационарная (зависит t); голономная и неголономная, т.е геометрическая и негеометрическая (ф зависит от скорости, ф не зависит от скорости).

Действительное и возможное перемещение.

Опред-е 1. Действит-е перемещение – это малое перемещение, к-е получает система при движении из данного положения.