8.Вопрос. Динамика. Предмет динамики. Основные з-ны Галилея-Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Понятие массы.

Динамика-раздел теор-й механики, в к-м изуч-ся движение тел как результат действия силы. Объект изучения динамики: матер-я точка, система матер-х точек, абсолютно твердое тело. Основана на 3-х з-х Галилея-Ньютона. 1. 1-й закон: тело наход-ся в состоянии покоя или равномерного поступательного движения до тех пор пока внешние силы не заставят тело изменить это состояние. Справедливы в инерц-й системе отсчета все законы. Движение возможно без сил. Движ-е при отсутствии сил- движение по инерции. 2-й з-н. Основной з-н динамики: произведение массы тела на ускорение вызванное действием силы, равно силе, действующей на тело. ma=F. Масса характеризует способность тела сохранять свое движение (-мера инертности тела). 3-й з-н - з-н Ньютона: два тела действуют друг на друга с силами равными по величине и противоположными по направлению. F_AB=-F_BA. Основные виды сил: 1. F_m=mg. 2. F_упр=-kx. 3. F_A=ρ_жgV_m. 4. F_пр=Gm₁m₂/r². 5. F_q=k|q₁||q₂|/r². 1кг=9,8Н

9. вопрос. Диф-е уравнения движения точки в декартовых и координатах и проекциях на естественные оси.

Декартовая система координат. 3 оси: x,y,z.

X: max=∑F_x, md²x/dt²=∑F_x

y: max=∑F_y, md²y/dt²=∑F_y

z: max=∑F_z, md²z/dt²=∑F_z

Для решения первой задачи динамики, этих уравнений достаточно, а для решения 2-ой задачи-нет, необходимо добавить 6 начальных условий, к-е отражают начальное положение и начальную скорость точки.

Естественные оси, оси, к-е однозначно связаны с траекторией движения.

а_τ=d√/dt, a_n=√²/ρ, a_в=0. r:md√/dt=∑F_r, n: m√²/ρ=∑F_n, в: ∑F_в=0. В этом случае, для решения 2-ой задачи динамики, необходимо добавить 2 начальных условия: начальную скор-ть и нач-е положение на траектории.

10. Вопрос. Две основные задачи динамики точки. Интегрир-е диф ур-ий движения точки в частных случаях. Две основные задачи динамики: 1. Зная движение тела, найти силы, действующие на него. 2. Зная силы, действующие на тело, найти движение. Динамика матер-й точки. Основана на применении 2-го з-на Ньютона. Для того, чтобы решить 1 и 2 задачи динамики, необходимо спроецировать 2-й з-н Ньютона на координатные оси и решить полученное диф-е ур-е 2-го порядка.

Решение 1-й задачи динамики:

x=Asinkt, y=Bcoskt, x²/A²+y²/B²=1, F_x=-mk²Asinkt=-mk²x, F_y=-mk²y, F=корень(F_x²+ F_y²)=mk²r

Решение 2-ой задачи задачи динамики. Возможны 3 частных случая: 1. Сила зависит от времени F=F(t). 2. Сила зависит от координаты F=F(x). 3. Сила зависит от ск-ти F=F(√). Как правило применяют 2 метода решения диф ур-я:

1. Метод разделения переменных: F=F(t) md√/dt=F(t), V_/t=0=V₀ ∫dV=∫F(t)dt/m,

x_/t=0=x₀ V=∫F(t)dt/m+C₁

dx/dt=Ф(t)+C₁; x=∫Ф(t)dt+C₁+С₂, далее С₁ и С₂ находятся из нач-х условий.

F=F(x) Если сила зависит от координаты, то необходимо использовать замену пер-х.

dV/dt=dV/dx=dx/dt=VdV/dx

2. Составление характеристического урав-я. Пример. λ= 60⁰, R=6400км, V₀=0, x(t)-?

Рассмотрим произвольное положение точки и запишем 2-ой з-н Ньютона: ma=N+F_m. Установлено, что F притяжения пропорциональна расстоянию оси точки до центра земли. F_m=kr, k-? kR=mg, k=mg/R; x: max=-Fmsinα, mx^’’=-mgrsinα/R=-mdrxr/Rr, x^’’+gx/R=0, x’_/t=0=0, x_/t=0=Rcosλ. Получим диф-е ур-е с начальными условиями – задача Коши. Составим харак-е ур-е: k²+g/R=0, k=±корень(g/R)I, i=корень(-1)

X=dsinкорень(g/R)t+Bcosкорень(g/R)t,

x_/t=0=0; Aкорень(g/R)+0=0, А=0.

x_/t=0=Rcosλ; B=Rcosλ; x=-Rcosλcosкорень(g/t)t.

Ответ: шарик будет совершать колебания дв-я (шарик опущен в канал). Период обращения шарика необходимо выч-ть T=2πкорень(R/g)=1,5часа.

11. вопрос. Динамика относительного движения точки. Учет сил инерции при вращении земли.

Основная цель-это сформулировать з-н Ньютона в неинерциальной системе отсчета. Для этого рассмотрим движ-е точки как сложное движ-е. Система 0xyz неподвижна и инерциальна. V_м=dr_м/dt, V_{м отн}=dr’/dt|_I,j,k=const ; a_м=dV_м/dt, a_{м отн}=dV_{м отн}/dt|_I,j,k=const , ma_м=∑F

Эту проблему можно решить используя теорему Корриолиса: a_м=а_{м отн}+а_{м пер}+а_{м кор}

Подставим теорему Кориолиса во 2-й з-н Ньютона: m(а_{м отн}+а_{м пер}+а_{м кор})=∑F

mа_{м отн}=∑F- m(а_{м пер}+а_{м кор}), Ф_кор=ma_{м кор}-кориолисова сила инеции, Ф_пер=ma_{м пер}

mа_{м отн}=∑F+ Ф_кор+ Ф_пер – 2-ой з-н Ньютона в неинерциальной СО.

Т.о для того, чтобы записать 2-й з-н Ньютона в неинерц-й СО необходимо кроме действующих на точку сил добавить кориолисову и переносную силу. Физически 2-х сил не сущ-т – они ввод-ся только для того, чтобы объяснить движение подвижного наблюдателя.

Частный случай: пусть переносное движ-е , движ-е подвижного наблюдателя явл-ся поступательным. 1) w_пер=0, а_кор=2w x V_отн=0, Ф=0

2) пусть переносное движ-е явл-ся поступательным, равномерным и прямолинейным: w_пер=0, а_пер=0, Ф_кор=0, Ф_пер=-mа_пер=0, след-но подвижная СО также явл-ся инерциальной. Вывод: если сущ-ет одна инерц-я СО, то сущ-ет бесконечно инерциальных СО, к-е совершают равномерное, прямолинейное, поступательное движения относительно 1-й системы отсчета.

3) условие относительного покоя. а_{м отн}=0, V_отн=0 Например движение спутников связи по геостационарной орбите.

УЧЕТ СИЛЫ ИНЕРЦИИ ПРИ ВРАЩЕНИИ ЗЕМЛИ. w_з=2π/1сут=2π/24x3600=7,3x10^-5рад/с

1. Учет переносной силы инерции а_пер=w_з²R_зcosλ; Ф_пер/mg=а_пер=w_зR_зcosλ/g

2. Учет силы Кориолиса. А_кор=2w_зV_отнsinλ. В северном полушарии сила кориолиса направлена вправо по ходу движения. В южном полушарии-влево по ходу движения. На экваторе при движении на север или на юг сила кориолиса = 0. При движении на восток сила кориолиса будет действовать вверх, на запад вниз.

ρ=V²/а_кор, ф=S/p, ∆=Stg(ф/2)

12. вопрос. Система материальных точек. Масса системы. Центр масс системы. Внешние и внутренние силы. Св-ва внутренних сил.

Динамика системы матер-х точек – это совокупность точек, движ-е к-х связано между собой. Основные хар-ки системы:

1. Масса системы= сумме масс всех точек входящих в ситему. М=_к=1ⁿ∑m_k (1). Масса каждой матер-й точки не меняется, поятому если не мен-ся число точек в системе, то и масса всей системы не меняется.

2. центр масс системы – это точка, координаты к-й выч-ся по формулам:

X_c=1/М∑m_kx_k

y_c=1/М∑m_ky_k ; r_c=1/М∑m_kr_k (2)

z_c=1/М∑m_kz_k

Если тело наход-ся в поле силы тяжести, то равнодействующая сил тяжести будет проходить через центр масс.

ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. Опред-е 1: силы взаимод-я между точками системы и точками не вход-ми в систему наз-ся внешними силами. Опред-е 2: силы, возникающие при взаимодействии точек между собой наз-т внутренними силами.

Внутр силы всегда возникают парами и подчин-ся 3-му з-ну Ньютона, поятому обладают 2-мя св-ми: 1. Главный вектор внутр сил=0. 2. Главный момент внутр сил относительно любого центра = 0.

13. вопрос. Момент инерции системы. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Вычисление моментов инерции в частных случаях.

Момент инерции системы. J₀=∑m_kr_k²- момент инерции системы, относительно т. о, r_k- радиус-вектор точки. J_z=∑m_kh_k²-момент инерции относительно оси, h_k-кратчайшее расстояние от точки до оси.

J_z=∑m_k(x²_k+y²_k)

J_y=∑m_k(x²_k+z²_k) ;(3)

J_x=∑m_k(y²_k+z²_k) (4)

J₀=∑m_k(x²_k+y²_k+ z²_k); J₀= (J_x+J_y+J_z)/2 (5)

Теорема (о моментах инерции относительно парал-х осей, Т. Штейнера) : момент инерции относительно оси = сумме момента инерции относительно параллел-й оси, проходящей через центр масс и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. J_z=J_cz’+Md² (6).

Док-во. J_z=∑m_k(x²_k+y²_k), J_z=∑m_k(x’²_k+(y^’_k+d)²)=∑ m_k(x’²_k+y^’_k²)+2d∑ m_ky^’_k+d²∑ m_k= J_z=J_cz’+Md²

∑ m_ky^’_k=M_y’c=0 (y_c’=0), ∑ m_k=M

Замечания: среди всех возможных моментов инерции относительно параллельных осей, наименьшим будет момент инерции относ-но оси, проход-й через центр масс.

ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ.

1. однородный стержень постоянного поперченного сечения массы m и длиной l.

J₀=Ml²/3, J_c=Ml²/12.

2.Однородное кольцо массой m и радиусом R.

J_c=MR² , J₀=2MR²

3.Однородный сплошной диск массой М и радиусом R.

dm=MdS/πR² , dS=dppdф, J_c=MR²/2

4.Момент инерции маятника

J₀=J₀₁+J_02, J₀₁=m_1l²/3+m₁l²/16, J₀₂=J_c+m₂(R+3l/4)²

14. вопрос. Общие теоремы динамики. Теорема об изменении кол-ва движения точки и ситемы.

Общие теоремы динамики явл-ся следствием основной теоремы динамики. d/dt( мера мех-го дв-я)=хар-ка силы.

Теорема об изменении кол-ва энергии. Кол-ом движения: q=mV точки наз-ся векторная величина=произведению массы скорости на вектор ее точки. Q=∑mV_i=∑mdr_i/dt=∑d(m_ir_i)/dt=d(∑m_ir_i)/dt=dMr_c/dt=MV_c

Q=MV_c, dQ/dt=d∑m_iV_i/dt=∑dm_iV_i/dt=∑m_ia_i=∑F_i^внеш+∑F_i^внутр

dQ/dt=∑F_i^внеш-теорема об изменении кол-ва движения в диф-й форме.

Q-Q₀=∫₀^t∑F^e_idt=S – импульс силы. S=Ft, F=const

15.вопрос. Кол-во движения системы и его связь центром масс. Теорема о движении центра масс.

Движения центра масс.

dQ/dt=∑F^e_i d(MV_c)/dt=∑F^e_i

Q=MV_c Ma_c=∑F^e – теорема о движении центра масс.

Центр масс движ-ся как материальная точка, масса к-ой = массе всей системы под действием силы= векторной сумме всех внеш сил, действующих на тело.

Следствие 1. V_c=const, ∑F^e_i=0

Следствие 2. V_c=const00, x(t)=const, y(t)=const, z(t)=const, mx=m(x+∆x), m∆x=0

16.Вопрос. Момент кол-ва движения точки относительно центра или оси. Их связь. Кинетический момент вращающегося тела.

При изучении вращения точки вокруг оси или центра вводится еще одна мера механ-го движения, к-я наз-ся моментом кол-ва движения.

L₀=r x mV, l_0z=l₀cosh=l_z

Кинетический момент системы: L₀=∑l₀ , L_r=∑l_z

Кинет-м моментом системы относительно центра или оси наз-ся векторное (для оси алгебраич-е) величина=векторной (для оси алгебраической) сумме моментов количеств движений точек системы относ-но того же центра или оси.

Кин-й момент вращ-гося тела относительно оси его вращения.

L_z=∑l_z= ∑mV_ih_i

V_i=wh_i, L_z=∑m_iwh_i²=w∑m_ih_i²=wJ_z, L_z=wJ_z

Кинетический момент вращ-ся тела= произведению момента инерции относительно этой же оси на угловую скорость вращения тела.

L₀=∑l₀=∑r_i x m_iV_i, L₀=∑m₀(m_kV_k)

dL₀/dt=∑m₀(F_i^e)

Производная по времени от кинетического момента системы относительно центра = векторной сумме моментов внеш сил относительно того же центра.

L_z/dt=∑m_z(F_i^e), L_z=const, ∑m_z(F_i^e)=0- з-н сохранения кинетического момента.

17. вопрос. Теорема об изменении момента кол-ва движения матер-й точки и системы. Основное уравнение вращ-го движения тела вокруг неподвижной оси.

L_z=J_zw, d(J_zw)/dt=∑m_z(F_i^e), J_zE=∑m_z (F_i^e)=M_z, M_z-вращающий момент.

Произведение момента инерции на угловое ускорение тела = вращающему моменту внеш-х сил.

J_zd²ф/dt²=M_z, E=M_z/J_z момент инерции J_z явл-ся мерой инертности вращ-ся тела. Пример про фигуриста.

Следствие: з-н сохранения кин-го момента. Если сумма моментов внеш-х сил = 0, то кин-й момент =const, т.е ∑m_z (F_i^e)=0, L_z=const

При уменьшении момента инерции происходит увеличение угловой скорости вращения.

18. вопрос. Динамика твердого тела. Диф-е уравнения движения твердого тела (поступательно вращ-е и плоскопараллельное движ-я)

А) поступательное движ-е. При поступ-м движении скорости всех точек тела одинаковы. V_k =V_c для любого к. T=MV_c/2. При поступ-ом движении кин-я энергия тела =половине произведения массы на квадрат скорости центра масс тела.

Б) Вращ-е движение. При вращ-м движении каждая точка движ-ся по окружности вокруг оси вращения скорость точки = произведению угловой скорости вращения тела на кратчайшее расстояние от точки до оси вращения – радиус окружности. V_k=wh_k. V_k лежит в плоскости окружности, описываемой точкой К, перпендикулярен расстоянию h_k , направлен в сторону вращения. T=Jw²/2. При вращательном движении кин-я энергии тела равна половине произведения момента инерции тела, относительно оси вращения, на квадрат угловой скорсти вращ-я.

В) сложное движение тела. Сложное движение тела представлено в виде суммы 2-х движений: 1. Поступательное движ- вместе с центром масс. 2. Вращение тела вокруг центра масс. Система Oxyz – неподвижная система отсчета, Cx’y’z’ – подвижная система отсчета, к-я движ-ся поступательно вместе с центром масс. В этом случае для выч-я скорости т. К можно воспользоваться теоремой о сложении скоростей. V_к=V_пер^к+V^к_относ. Переносное движения для точки к- это поступ-е дв-е вместе с центром масс, поэтому переносная скорость т. К= скорости движ-я центра масс. T’=1/2∑m_k(V_отн^к)²- кин-я энергия относительного движения. MV_c/2- кин-я энергия поступ-го движ-я вместе с центром масс.

=∑m_kr’_k=Mr_c’=0, r_c’- радиус вектор центра масс в подвижной со, он=0, потому что центр подвижной с.о совпадает с центром масс тела. T=MV_c²/2+T’

Г) плоское (плоскопараллельное) движ-е при плоском движ-ии все точки тела движ-ся параллельно нек-ой неизменной пл-ти. В кинематике показано, что такое движ-е можно представить в виде суммы поступ-го движения вместе с центром масс и вращения вокруг центра масс. T=MV_c²/2+J_cw/2. При плоском движении кин энергия тела = сумме кин энергии поступ-го движ-я вместе с центром масс и кинет-й энергии вращения вокруг центра масс. Замечание: если система состоит из нескольких тел, то ее кин-я энергия = сумме кин-х энергий всех тел, входящих в систему.