19. Вопрос. Кинетическая энергия материальной точки и ситемы. Кин-я энергия в простейших случаях движения. Теорема Кенига.

Кин-я энергия – мера мех-го движ-я. Кин-я энергия системы матер-х точек = сумме кинет-х энергий всех матер-х точек системы. T= ∑m_kV²_k/2. Для выч-я кинет-й энергии необходимо выч-ть скорость каждой точки системы, а это представляет собой сложную задачу. Для того, чтобы разрешить эту задачу необходимо вспомнить классиф-ю движения, введенную в разделе кинематии. Т.о выч-е кин-й энергии существенно зависит от вида движения твердого тела.

Кин-я энергия при сложном движении =сумме кин-х энергий поступательного дв-я вместе с центром масс и кин-й энергии относит-го движения вокруг центра масс. Этот рез-т известен как теорема Кенига. T=MV_c²/2+T’=Т Замечание: если в качестве переносного движ-я выбрать другое дв-е, анне поступ-е дв-е вместе с центром масс, теорема Кенига будет не верной.

При плоском движении кин энергия тела = сумме кин энергии поступ-го движ-я вместе с центром масс и кинет-й энергии вращения вокруг центра масс. Замечание: если система состоит из нескольких тел, то ее кин-я энергия = сумме кин-х энергий всех тел, входящих в систему.

20. Вопрос. Элементарная рабоа силы. Работа силы на конечком пути. Мощность. Работа силы тяжести и упругости.

dA=Fdr=Fdrcosα (1) Рассмотрим движение точки под действием силы F. В этом случае точка получает малое перемещение dr.

Опред-е: элементарной работой силы F на перемещение dr наз-ся скалярная величина = скалярному произведению векторов F и dr (см формулу 1).

При вычислении работы на конечном перемещении необходимо вычислить интеграл A₁₂=∫₁²dA==∫₁²Fdr (2)

Из опред-я (1) можно получить несколько формул для вычисления работы. dA=F_xdx+F_ydy+F_zdz, dA=F_rdr

A₁₂=∫₁² F_xdx+F_ydy+F_zdz, A₁₂=∫₁²F_rdr

Опред-е: мощность силы – это кол-во работы, совершаемое за ед-цу времени.

N=dA/dt (3), N=Fn (4).

ПРИМЕР: Чем больше скорость автомобиля, тем меньше сила тяги, к-я развивает двигатель.

РАБОТА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ = взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной. Работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по к-й перемещается точка ее приложения. Силы, обладающие таким св-ом, называются потенциальными. A=±Ph

РАБОТА СИЛЫ УПРУГОСТИ = половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины. А=с(λ₀²- λ₁²)/2.

Работа будет положительной, когда λ₀>λ₁, т.е когда конец пружины перемещ-ся к равновесному положению, и отрицательной, когда λ₀<λ₁ , т.е когда конец пружины удаляется от равновесного положения.

Работа силы F зависит только от значения λ₀, λ₁ и не зависит от вида траектории точки М. След-но, сила упругости также явл-ся потенциальной.

21. Вопрос. Элементарная работа силы. Работа и мощность силы, приложенной к вращающемуся телу.

Точка К движ-ся по окружности и вектор малого перемещения dr будет направлен по касательной к этой окружности. dr=h_kdф, dA=F_rdr=F_rh_kdф, F_rh_k=m_z(F) – это момент силы F относительно вращения.

dA=m_z(F)dф. Элементарная работа силы, приложенной к точке вращающегося тела = произведению момента силы относительно оси вращения на элементарный угол поворота.

При вычилении момента силы положительным считается то направление, к-е совпадает направлением вращения, т.е положительным направлением счит-ся напрвление вращения.

Элементарная работа dA=m_z(F)dф будет положительной, если направление момента М_z и dф совпадает.

N=dA/dt=m_z(F)w (6)

22. вопрос. Общие теоремы динамики. Теорема об изменении кинетической энергии.

Данная теорема имеет 2 формул-ки: интегральную и дифференциальную.

1. Интегр-я форм-ка: изменение кин-й энергии системы = сумме работ внеш-х и внутр-х сил. T-T₀=∑A^e+∑Aⁱ

2. Диф-я ф-ка: производная по времени от кин-й энергии системы = сумме мощностей внеш-х и внутр-х сил. dT/dt=∑N^e+∑Nⁱ

Если система состоит из тв тел, соед-х нерастяжимыми нитями, то сумма работ и сумма мощностей внутр-х сил = 0, ∑Nⁱ=0, ∑Aⁱ=0

Док-во теоремы: для начала докажем теорему для одной матер-й точки.

Ma=F

Тау: mdV/dt=F_тауб заменим производную dV/dt на dV/dS (S-координата по траектории)

dV/dS: dV/dt=dVdS/dSdt=VdV/dS

mVdV/dS=F_тау, mVdV=F_тауdS, d(mV²/2)=dA, T-T₀=A_F- для одной матер-й точки.

После суммирования по всем точкам системы мы получим теорему об изменении кин энергии для всей системы. T-T₀=∑A^e+∑Aⁱ

При суммировании учтено, что силы, действующие на точку системы делятся на внешние и внутренние, поэтому можем разделить на суммы работ внешних и внутренних сил.

Дифференцирую полоуч-й рез-ат выведем диф-ю формулировку теоремы dV/dt=∑N^e+∑Nⁱ

Интегральная ф-ка теоремы удобна для задач в к-х необходимо найти зависимость скорости от перемещения. Т-Т₀=∑A^e

Диф-я формулировка удобна при решении задач, где необходимо найти зависимость между ускорением и скоростью. dT/dt=∑N^e

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ.

1.Теорема об изменении кол-ва движения

Q==∑m_kV_k, Q=MV_c, dQ/dt=∑F^e, Ma_c=∑F^e, Q-Q₀=∑S^e, S=∫₀^tFdt (S-импульс силы)

2.Теорема об измени кин-го момента

L₀=∑r_k x (m_kV_k); L_z=∑m_z(m_kV_k); dL_k/dt=∑m₀(F^e); dL_z/dt=∑m_z(F^e); J_zdw/dt=∑m_z(F^e);

3.Теорема об изменении кин энергии

Т-Т₀=∑A^e+∑Aⁱ; dV/dt=∑N^e+∑Nⁱ

23. Вопрос. Потенциальная энергия системы. З-н сохранения полной механической энергии ситемы. Работа диссипативных сил.

Опред-е: силовое поле – это область пространства в к-й на любую помещенную туда точку действует сила, зависящая только от координаты точки F=F=F(x,y,z)

Потенциальное силовое поле – это силовое поле для к-го сущ-ет скалярная функция координат, такая, что сила действующая на точку = градиенту этой функции. F=gradU

F=ΔU, Δ-оператор набла, Гамельтона

F=δUi/δx+δUj/δy+δUk/δz

Δ=δi/δx+δj/δy+δk/δz

ΔU=gradU (градиент)

ΔV=divV (дивервенция)

Δ х V=rot (ротер)

Градиент показывает напрвление наискорейшего возрастания функции

F_x=δU/δx; F_y=δU/δy; F_z=δU/δz;

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ФУНКЦИИ

δF_x/δy=δ²U/δxδy=δF_y/δx; δF_x/δz= δF_z/δx; δF_y/δz= δF_z/δy

РАБОТА ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ.

dA=Fdr=F_x+F_ydy+F_zdz= (δU/δx)dx+(δU/δy)dy+(δU/δz)dz=dU- полный диф-л от ф-ии U.

dA=dU

A₁₂=∫₁²dA= ∫²₁dU

A₁₂=U₂-U₁

1. Элементарная работа потенциальных сил = полному диф-лу от потенциальной ф-ии

2. Работа потенц-х сил на конечном перемещении не зависит от траектории движения, а зависит только от начального и конечного положения точки.

3. потенц-я энергия точки в данном положении = работе потенц-х сил при перемещении точки из данного положения в нулевое положение.

П₁=А₁₀=U₀-U₁

dП=-dП; A₁₂=П₁-П₂; F_x=-δП/δx; F_y=-δП/δy; F_z=-δП/δz;

Примеры потенциальных сил: сила тяжести, сила кулана, сила упругости.

Рассм-м теорему об изменении кин энергии для потенц-х сил

Т₂-Т₁=А^е₁₂; А^е₁₂= П₁-П₂; Т₂-Т₁= П₁-П₂; Т₂+Т₁= П₁+П₂=Е=const- з-н сохранения полной мех-й энергии

Система, в к-х вып-ся з-н сохранения наз –ся консервативными системами.

При наличии в системе сил трения или любых других сил сопротив-я з-н сохранения принимает вид: Т₂+П₂= П₁+Т₁+R, R₁<0, R₁- ф-я диссипация энергия.