1 Вопрос. Сложное движение точки. Относительное и переносное движения. Теорема о сложении скоростей.

Сложное движение точки – это движ-е точки, изучаемое относительно 2-х систем отсчета. С.о. – это тело, на к-ом наход-ся «наблюдатель» и регистрирует движение точки. Для регистрации движ-я наблюдатель может вводить различные системы координат. При сложном движении одна система отсчета (наблюдатель) счит-ся неподвижной, 2-я система отсчета произвольно движ-ся относ-но 1-ой. В обеих системах отсчета регистрируется движения одной и той же точки М.

Рис 1. r’_м= r’₀+ r_м ; r_м=xi+yj+zk; √_отн=(dr_м/dt)_I,j,k=const; Подвижный наблюдатель не знает, что движ-ся, поэтому I,j,k=const.

Опр. №1 движ-е точки М относ-но неподвижной системы отсчета наз-ся абсолютным движением.

Опр.№2 движ-е т. М относ-но подвиж-й сист. Отсчета наз-ся относит-ым движ-ем.

Опр.№3 движ-е подвижной с.о относ-но неподвижной наз-ся переносным дв-ем

При решении задач в качестве переносного движ-я необходимо выбирать движ-е тела.

Опр.№4 скорость т М относ-но неподв-ой с.о наз-ся абсолютной скоростью √_м (√_абс)

Опр.№5 скорость т М относит-но подвижной с.о наз-ся относит-ой скоростью √_отн (√_r)

Опр.№6 скорость точки подвижной системы отсчета совпад-й в данный момент времени с точкой М наз-ся переносной скоростью √_пер (√_е).

ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ. При сложном движ-ии т М ее абсолютная скорость = геом-й сумме переносной и относит-й скоростей. √_абс=√_е+√_r

Док-во: применим векторный способ описания движ-я точки: √_отн=(dr_м/dt)_I,j,k=const= dxi/dt+dyj/dt+dzk/dt. √_пер=(dr’_м/dt)_x,y,z=const= √_о +xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt. √_абс=dr_м/dt= dxi/dt+dyj/dt+dzk/dt+√_о+xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt=√_е+√_r

2 Вопрос. Относ-е и пер-е дв-е. Теорема Кориолиса. Физич-й смысл ускорения кор-са.

При непоступательном переносном дв-ии абсолютное ускорение т М = геом-й сумме 3-х ускорений: переносного ускорения, относ-го и ускорения кориолиса. а_м=а_е+а_r+а_с

Опр.№7 Ускорение точки М относ-но подвижной с.о наз-ся относительным ускорением.

Опр.№8 Ускорение точки М относ-но неподвижной с.о наз-ся абсолютным ускорением.

Опр.№9 ускорение т подвижной с.о совпадающей в данный момент времени с т М наз-ся переносным ускорением.

Док-во. Рис2 r’_м= r’₀+ xi+yj+zk; r_м=xi+yj+zk; √_r=dxi/dt+dyj/dt+dzk/dt. √_e=dr’₀/dt +xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt. √_м=dr’₀/dt+dxi/dt+dyj/dt+dzk/dt+xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt;

а_r=(d√_r/dt)_I,j,k=const= d²xi/dt²+d²yj/dt²+d²zk/dt²

эту производную выч-т подвижный наблюдатель, к-й не видит собственного движ-я, поэтому базисные векторы I,j,k=const

а_е=(d√_м/dt)_x,y,z=const= d²r₀’/dt+ xd²i/dt²+yd²j/dt²+zd²k/dt²

а_м=(d√_м/dt)= d²r₀’/dt+ xd²i/dt²+yd²j/dt²+zd²k/dt²+ +d²xi/dt²+d²yj/dt²+d²zk/dt²+(di/dt*dx/dt+dy/dt*dj/dt+dz/dt*dk/dt)*2

а_с=(di/dt*dx/dt+dy/dt*dj/dt+dz/dt*dk/dt)*2

Физич-й смысл di/dt; dj/dt; dk/dt производная характеризует изменение величины. Изменение базисных векторов может происходить лишь только за счет поворота, поскольку длина базисных векторов т.о хар-ет вращение подвижной системы отсчета.

Ускорение корриолиса-это удвоенное век-е произведение угловой скорости переносного вращ-я на вектор относительной скорости а_с=2[w_eX√_r]

Физич-й смысл ускорения кориолиса- это ускорение характер-ет 2 одинак-ых эффекта:

1. влияние переносного движения на отосительную скорость.

2. влияние относительного движ-я на переносную скорость.

Вычисление ускорения кориолиса.

А) величина ускорения а_с=2w_e√_rsin(w_e,√_r)

Б) направление ускорения кориолиса:

1. правило Жуковского: для того, чтобы найти направление ускорения кор-са необходимо: во-первых: спроецировать вектор относит-й скорости на плоскость перпендик-й оси переносного вращения; во-вторых: повернуть проекцию на 90 градусов в сторону вращения.

2. правило векторного произведения. w_eперпендик-но пл-ти чертежа, а_с=2w_e√_r

3 вопрос. определение скорости точки методом полюса. Теорема о проекциях скоростей.

Скорость точки плоской фигуры = сумме скорости полюса и скорости точки вокруг полюса.

√_м=dr/dt=dr_A/dt+dr/dt;dr_A/dt=√_A; √_м=√_A+√_МА ; √_МА =wMA; √_МА перпендик МА, таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса.

ТЕОРЕМА О ПРОЕКЦИЯХ СКОРОСТЕЙ ДВУХ ТОЧЕК ТЕЛА: проекции скоростей 2-х точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим 2 точки А и М плоской фигуры. Точка А-полюс, √_м=√_A+√_МА , отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АМ, и учитывая, что вектор √_МА перпендикулярен АМ, находим √_мcosβ=√_Acosα, если это равенство не будет выполнятся, то при движении расстояние между точками А и М должно изменяться, что невозможно, т.к тело считается абсолютно твердым, равенство выполняется не только при плоскопараллельном движении, но и при любом движении твердого тела.

4вопрос. Мгновенный центр скоростей. Св-ва МЦС. Особые случаи отыскания МЦС.

Мгнов-м центром скоростей наз-ся точка плоской фигуры, скорость к-ой в данный момент=0, все остальные точки плоской фигуры вокруг мгновенного центра просто поворачиваются. √_cv=0, √_c=√_cv+√_ccv , √_c=√_ccv=wR, √_м=wMC_v

1.Для определения МЦС надо знать только направления скоростей каких-нибудь 2-х точек А и В плоской фигуры, МЦС наход-ся в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям).

2.для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда восставив из точек А и В перпендикуляры к их скоростям, построим мгновенный центр скоростей и по напрвлению скорости точки А определим направление поворотоа фигуры. Посл этого, зная скорость точки А, найдем скорость любой другой точки плоской фигуры.

3. угловая скорость w плоской фигуры = в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р: w=√_в/РВ. Частные случаи определения МЦС. А) если плоскопараллельное движение осущ-ся путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности, имеет в данный момент времени вследствии отсутствия скольжения скорсть, равную 0 и, след-но, явл-ся МЦС. Примером служат колеса по рельсу. Б) если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендик-на скорости точки А, то МЦС лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны скорости точки А. Скорости всех точек в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по напрвлению, т.е фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей, угловая скорость равна 0.

В) если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендик-на скорости точки А, то МЦС Р опред-ся построением. Для нахождения ценра Р кроме направлений необходимо знать еще и модули скоростей точек А и В. Г) если известы вектор скорости точки В и ее угловая скорость w, то положение МЦС Р, лежащего на перпендикуляре к скорости точки В,можно найти ВР=√_в/w.

5.вопрос. Сила. Проекция силы на ось и на плоскость. Момент силы относительно точки как алгебраическая величина и как вектор.

Проекция силы на ось есть алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Если этот угол острый-проекция положительна, если тупой-отрицаельна, а если сила перпендик-на оси-ее проекция на ось равна 0. F_x=Fcosα=ab, Q_x=Qcosα₁=-Qcosφ=-de, P_x=0.

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в к-ой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось. F_x=F_xycosφ=FcosΘcosφ, F_y=F_xysinφ=FcosΘsinφ. Аналитический способ задания сил. Для аналитического задания силы необходимо выбрать систему координатных осей О_xyz, по отношению к к-ой будет определяться направление силы в пространстве. Величины F, α,β, и гамма задают силу F. Точка А приложения силы должна быть задана отдельно ее координатами. F=корень(F²_x+F²_y+F²_z), cosα=F_x/F, cosβ= F_y/F, cos(гамма)= F_z/F. Аналитический способ сложения сил. Проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА (ТОЧКИ). Точку, относительно к-ой берется момент, называют центром момента, а момент силы относительно этой точки-момент относительно центра. Если под действием приложенной силы тело может совершать вращение вокруг некоторой точки, то момент силы относительно этой точки будет характеризовать вращательный эффект силы. Момент силы относительно центра характериз-ся не только его числовым значением, но и направлением в пространстве, т.е явл-ся величиной веторной. Моментом силы F относительно центра О назыв-ся приложенный в центре О вектор m₀(F), модуль к-го равен произведению модуля F силы на плечо h и к-ый направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки. | m₀(F)|=Fh=2пл∆ОАВ. Момент силы F относительно центра О равен векторному произведению радиуса ветора r=OA, проведенного из центра О в точку А, где приложена сила, на саму силу. Этот результат может служить другим определением понятия о моменте силы относительно центра. СВ-ва момента сил: 1. Момент силы относительно ценра не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия. 2. Момент силы относительно центра О равен нулю или когда сила равна нулю, или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно 0).

6. Вопрос. Момент силы относительно оси и его связь с моментом силы относительно точки. Проекция вектора m₀(F), т.е момента силы F относительно центра О, на какую-нибудь ось z, проходящую через этот центр, назыв-ся моментом силы F относительно оси z, т.е m_z(F)=|m₀(F)|_z или m_z(F)=|m₀(F)|cos(гамма), где m_z(F)-момент силы F относительно оси z, гамма- угол между вектором m₀(F) и осью z. m_z(F)- величина алгебраическая. Момент силы F относительно оси z равен алгебраическому моменту проекций этой силы на плоскость, перпендик-ю оси z, взятому относительно точки O₁ пересечения оси с этой плоскостью. Момент силы относительно оси будет иметь знак плюс, когда с положительного конца оси поворот, к-й стремится совершить сила F_xy, виден происходящим против часовой стрелки. Частные случаи: 1. Если сила параллельна оси, то ее момент относительно лси =0. 2. Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно оси также равен 0, т.к h=0.момент силы относительно оси=0, если сила и ось лежат в одной пл-ти. 3. Если сила перпендик-на оси, то ее момент относительно оси равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на расстояние между линией действия силы и осью. Аналитеческие формулы для моментов силы относительно координатных осей. По теореме Вариньона m_x(F)=m_x(F_x)+ m_y(F_y)+ m_z(F_z).

m_x(F)=yF_z-zF_y

m_y(F)=zF_x-xF_z

m_z(F)=xF_y-yF_x.

|m₀(F)|=корень( (m_x(F))²+ (m_y(F))²+ (m_z(F))²)

R_x=∑F_{kx ,} R_y=∑F_{ky ,}R_z=∑F_kz

M_x=∑m_x(F_k) M_y=∑m_y(F_k) M_z=∑m_z(F_k)

7. вопрос. Трение скольжения и т рение качения. Конус трения.

Равновесие при наличии трения. Экспериментально установлено, что при попытке сдвинуть одно тело вдоль пов-ти др-го тела возникает сила сопротивления, наз-ся силой трения скольжения. Для определения этой силы можно провести опыт Кулона: тело известной массы нах-ся на шероховатой поверхности. Рассмотрим равновесие груза Р: F_тр=Q при увеличении груза Q сила трения будет возрастать до тех пор пока не достигнет максимального значения. Экспериментально установлено, что максим-е знач-е силы трения зависит от величины нормальной реакции пов-ти. F_тр^max=fN (1). F-коэфициент трения покоя. Т.о при равновесии сила трения удовлет-т след-му нер-ву: F_тр<=fN (2). Если при равновесии сила трения= предельному значению, то говорят о предельном состоянии равновесия: (в этом случае счит-ся, что сила трения явл-ся известной). При движении сила трения выч-ся через динам-й коэф-ент трения F_тр=f_dN, f_d<=f. Коэфи-т трения завист от многих фак-ов: от материала, от способа обработки пов-ти, от наличии смазки, наличия внеш-го магнитного поля и т.д. Трибология- наука изучающая з-ны трения.

Реакция шероховатой пов-ти, конус трения. F_тр<=fN, F_тр=f_dN. Реакция шероховатой поверхности расклад-ся на 2 составляющие: нормальная реакция и сила трения. Т.о р-я шероховатой пов-ти отклоняется от вертикали. R=N+F_тр. В состоянии предельного равновесия р-я шерох-й пов-ти отклон-ся на максимальный угол tgφ_max=F_тр/N=f, угол φ_max-наз-ся углом трения. Все возможные положения реакции в предельном состоянии равновесия образуют конус трения. α<= φ_max. Если при попытке сдвинуть тела дейст-я сила лежит внутри конуса трения, то независимо от величины силы тело будет нах-ся в покое. Этим объясняется явление заклинивания и самоторможения тел.

Трение качения. Это сопротивление, возник-е при качении тела. Если рассм-ть колесо как абсолютно твердое тело, то возникает момент от пары сил Q и F_тр , к-й ничем не компенсир-ся, след-но колесо будет двиг-ся при малом знач-ии силы Q, это противопоставляет эксперименту. На самом деле колесо и пов-ть деформир-ся и возникает пятно контакта, что приводит к смещению силы N в сторону качения. Δ-смещение силы N образ-ся пара сил Р и N, к-е компенсируют пару Q и N.

При расчетах силу N переносят обратно используя т. О параллельно переносе силы, при этом добавляем момент сопротивления качения. М_с<=Nδ (1), M_c=NG (2). При равновесии вып-ся (1), при движении (2). Величина δ опред-ся экспериментально или берется из справочников.