Элементы теории множеств и их применение к социальным группам и анализу ответов на вопросы социологических анкет. Практика 1 Множества.

Задание 1. Пусть заданы два множества А и В, где А={3,4,5}, B={1,2,3,4}, найти , , , , .

Решение. ={1,2,3,5}; ={3,4}, ={5}, ={1,2}, ={5,1,2},

Задание 2. Пусть А - множество букв в слове «социология», В- множество букв в слове «психология». Найти следующие множества и их мощности:

.

Решение. А={С, О, Ц, И, Л, Г, Я}, В={П, С, И, Х, О, Л, Г, Я}, тогда ={С, О, Ц, И, Л, Г, Я, П, Х}, =9, ={С, О, И, Л, Г, Я}, =6, ={ Ц}, =1, ={П, Х}, .

Задача 3. По заданным промежуткам А и В на числовой прямой определите , , , , где А=(0,2], B=(2,9).

Решение. =(0,9); = , =(0,2], =(2,9).

Задача 4. По заданным промежуткам А и В на числовой прямой определите , , , , , где А=(0,4), B=(2,10).

Решение. =(0,10); =(2,4), =(0,2) (4,10), =(0,2), =(4,10).

Задача 5. Пусть А – множество людей с гуманитарным образованием, В – множество людей с математическим образованием. Найти .

Решение. Воспользуемся формулой . Сначала найдём – множество людей, имеющих только гуманитарное образование и не имеющих математического образования, затем – множество людей, имеющих только математическое образование и не имеющих гуманитарного образования. Тогда – множество людей, имеющих только гуманитарное образование или только математическое образование.

Задание 6. Пусть А – множество студентов социологического факультета, прогуливающих занятия по высшей математике, а В – множество студентов социологического факультета, надеющихся сдать экзамен по высшей математике. Найти , .

Решение. – множество студентов социологического факультета, прогуливающих занятия по высшей математике или надеющихся сдать экзамен по высшей математике. – множество студентов социологического факультета, прогуливающих занятия по высшей математике и надеющихся сдать экзамен по высшей математике.

Задание 7. Найти , где А={3,6,7,10}, B={1,3,5,7,9}.

Решение. Воспользуемся формулой . Сначала найдём ={6,10}, ={1,5,9}, тогда ={6,10,1,5,9}.

Задание 8. Доказать, что { }.

Решение. Множество { } имеет один элемент, множество не имеет элементов, следовательно, { }.

Задача 9. Социолог исследует способности у 300 студентов. Оказалось, что n₁ студентов преуспевают в математике, n₂ – в музыке, n₃ – в спорте. Кроме того, было обнаружено, что m студентов преуспевают как в математике, так и в музыке, k – как в музыке, так и в спорте, l – как в математике, так и в спорте. И только 10 студентов преуспели сразу в трех областях. Найти количество студентов, которые преуспевают в 0, 1, 2, 3 областях, если n₁=120, n₂=90, n₃=80, m=40, k=30, l=40.

Решение. Студент может преуспевать в 0, 1, 2, 3 областях. Для рассматриваемых множеств студентов введём обозначения:

{студенты, преуспевающие только в математике},

{студенты, преуспевающие только в музыке},

{студенты, преуспевающие только в спорте},

{студенты, преуспевающие только в математике и спорте},

{студенты, преуспевающие только в музыке и спорте},

{студенты, преуспевающие только в математике и в музыке},

{студенты, преуспевающие во всех трех областях}.

Изобразим перечисленные множества в виде логических кругов, т.е. диаграмм Эйлера–Венна. Очевидно, что эти круги пресекаются, так как есть студенты, преуспевающие в двух и даже трех областях. Тогда все возможные ситуации характеризуются следующей схемой:

4

6

7

3

2

5

Вычислим количество студентов, которое принадлежит множествам

120-40-40+10=50,

90-40-30+10=30,

80-40-30+10=20,

40-10=30 (мы вычли тех студентов, которые преуспевают во всех трёх областях),

30-10=20 (мы вычли тех студентов, которые преуспевают во всех трёх областях),

40-10=30 (мы вычли тех студентов, которые преуспевают во всех трёх областях),

10 (так как 10 студентов преуспевает во всех трёх областях).

Таким образом, в одной области преуспевают 50+30+20=100, В двух областях преуспевает 30+20+30=80, 10 студентов преуспевает во всех трёх областях, ни в одной области не преуспевает 300-100-80-10=110.

Задача 10. Доказать следующее тождество: .

Решение. Доказательство тождества двух множеств сводится к доказательству равенства этих множеств, т.е. А=В, если и . Для этого возьмём любой элемент x, принадлежащий левой части равенства, и покажем, что он входит и в правую часть, а затем и наоборот. Пусть x принадлежит множеству , значит x принадлежит и , и . Если , то , а следовательно . Если же , то имеем , а значит . Таким образом .

Рассмотрим правую часть тождества. Пусть x принадлежит множеству . Если , значит , и , а следовательно . Если же , то , и , а значит . Таким образом . В итоге имеем, что .

Задача 11. Пусть А – множество всех студентов ФФСН, сдавших сессию на баллы не ниже 7, т. е. на 7, 8, 9, 10, и пусть В – множество всех студентов ФФСН, сдавших сессию на баллы не выше 8, т. е. на 4, 5, 6, 7, 8 , тогда – множество всех студентов ФФСН, сдавших сессию на баллы 7 и 8.

Задача 11. Чему равно , . Эти законы называются законы поглощения

Задача 12. Пример. Социолог опросил 100 граждан. По данным этого социологического опроса 75 граждан посещает государственные медицинские учреждения, 60 – коммерческие, а 45 граждан – одновременно и государственные и коммерческие медицинские учреждения, в зависимости от вида лечения. Сколько граждан посещает государственные или коммерческие медицинские учреждения? Сколько граждан вообще не посещает медицинские учреждения?

Решение. Пусть А – множество граждан, посещающих государственные медицинские учреждения, В – множество граждан, посещающих коммерческие медицинские учреждения, тогда – множество граждан, посещающих государственные или коммерческие медицинские учреждения найдём из формулы =75+60-45=90.

Тогда 100-90=10 граждан вообще не посещает медицинские учреждения.

Задача 13. Докажите, что .

Задание 14. Ввести отношение порядка на множестве и если это возможно сравнить элементы.