ЗАДАЧИ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

И ИХ РЕШЕНИЕ

Пособие для студентов физического факультета

специальности 1-31 04 01 «Физика»

МИНСК

2006

А в т о р ы – с о с т а в и т е л и :

В. Н. Русак, Н. К. Филиппова

Рекомендовано

Ученым советом физического факультета

28 Июня 2005 г.Протокол №11

Р е ц е н з е н т ы :

доктор физико-математических наук, профессор В.Т. Ерофеенко;

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Пекарский.

Задачи по математической физике и их решения: пособие для студентов физ. спец. 1=310401 «Физика»/ авт.=сост. В.Н. Русак, Н.К. Филиппова. -Мн.: БГУ, 2006 г.-93 с.

Для студентов 1-2 курсов физического факультета и факультета радиофизики и электроники БГУ.

Предисловие

Преподавание математических дисциплин на физических факультетах Белорусского государственного университета складывалось на основе опубликованного В.И. Смирновым пятитомного «Курса высшей матема- тики» и серии учебных пособий , отражающих опыт преподава- ния в московских вузах. Что касается непосредственно математической физики, то на русском языке также имеется ряд учебных пособий и сбор- ников задач .

В 1998 г. В.Н. Русак издал краткий курс математической физики рассчитанный на 90 лекционных часов. При написании настоящего посо- бия авторы, в доходчивой форме изложили круг основных идей и мето-

дов применяемых при решении задач математической физики в рамках действующей программы. В нем по каждой теме приведены необходимые теоретические сведения, подробно разобраны решения типовых упражне- ний и предложены примеры для самостоятельной работы. Основной ак -цент делается на метод разделения переменных и применение цилиндри -ческих функций.

Пособие адресовано студентам физикоматематических специаль- ностей которые изучают дифференциальные уравнения в частных произ- водных и их приложения.

§ 1. Ряды и преобразования фурье

Если f(x) 2l– периодическая кусочно-гладкая функция на R, то она раскладывается в ряд Фурье

(1)

(2)

Бывает так, что функция f(x) задана и является кусочно-гладкой на отрезке -l, lи ее также можно разложить в ряд Фурье вида (1-2), и сумма этого ряда будет 2l – периодическим продолжением функции f(x). Добавим к сказанному, что в формулах (2) в силу 2l –периодичности можно вести интегрирование по любому отрезку длиной 2l.

Если f(x) четная 2l – периодическая кусочно-гладкая функция, то коэффициенты b_k=0, и соответственно

(3)

(4)

Если f(x) нечетная 2l – периодическая кусочно-гладкая функция, то коэффициенты a_k=0, и соответственно

(5)

(6)

Если f(x) кусочно-гладкая функция на отрезке 0, l, то ее можно разложить в ряд Фурье (3), (4), так и в ряд Фурье (5), (6), осуществляя соответствующее продолжение функции f(x).

Если f(x) непрерывная 2l – периодическая функция и существует кусочно-непрерывная производная f(x), то ряд Фурье функции f(x) сходится к ней равномерно.

Для всякой кусочно-непрерывной на -l, l функции выполняется ра- венство Ляпунова-Стеклова

(7)

Если f(x) кусочно-непрерывная функция на отрезке -l, l, то ее ряд Фурье можно интегрировать почленно.

Предполагаем теперь, что f(x) определена на R, абсолютно интегриру- ема и является кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке. Тогда спра- ведлива интегральная формула Фурье

(8)

Разумеется, что в точках непрерывности правая часть соотношения (8) может быть заменена на f(x).

Интегральная формула Фурье равносильна выполнению двух пре- образований: прямого преобразования Фурье

(9)

и обратного преобразования Фурье

(10)

где х точка непрерывности и интеграл в (10) понимается в смысле главно- го значения по Коши.

1. Разложить в ряд Фурье функцию

Р е ш е н и е. Учитывая четность f(x), применяем формулу (4) и получим при k1

Если же k=0, то

Cледовательно, на интервале выполнено равенство

2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) =arсsin(sin x), xR.

Р е ш е н и е. Поскольку:

то f(x) нечетная функция на R, а период функции равен 2. В качестве основного отрезка можно брать отрезок -, и применять формулу (6). Предварительно нужно учесть, что

Если же то sin x=sin (-x) и тогда

f(x)=arcsin (sin(-x))=-x.

Следовательно для коэффициентов Фурье будем иметь по формулам (6)

Следовательно для всех xR имеет разложение в ряд

3. Проверьте, что при 0<x< выполнено равенство

Р е ш е н и е. Продолжим функцию

нечетным образом на (-,0) и разложим в ряд Фурье (5),(6). Будем иметь

Итак, мы проверили, что и тем самым устано- вили нужное равенство.

4. Разложите в ряд Фурье функцию

Р е ш е н и е. Поскольку f(x) определена на R, нечетная, имеет период 2 и является гладкой, то она разлагается в ряд (5),(6), однако коэффици- енты будем находить не по формулам (6). Воспользуемся известным сте- пенным рядом

Левую часть равенства в числителе и знаменателе домножим на , тогда будем иметь

и если в этом соотношении отделить слева и справа мнимые части, то получим

5. Найдите преобразование Фурье для функции

Р е ш е н и е. Пользуясь формулой (9) и леммой Жордана будем иметь при >0

Если же <0, то интеграл считается через вычет в точке ai и получим

Объединяя обе формулы, найдем

Разложите в ряды Фурье в указанных интервалах:

6. f(x)=x в интервале (-l, l).

7. f(x)= signx в интервале (-l, l).

8. f(x)=cos⁴x, x(-,).

9. f(x)=|x|, x(-l, l).

10. f(x)=l²-x² в интервале (-l, l) .

11. f(x)=x² в интервале (-,).

13. f(x)= |sinx|, x(-,).

14. f(x)= |cosx|, x(-,).

15. f(x)=sign(cosx) , x(-,).

16. f(x)=arcsin(cosx) , x(-,).

17. f(x)=x-x, x(-,).

18. Функцию f(x)=x² разложить в ряд Фурье

а) по косинусам

б) по синусам

в) в интервале (0,2l).

Используя эти разложения, найти суммы числовых рядов

19. Отправляясь от разложения

,

найти интегрированием разложения в ряд Фурье на интервале функций х², х³, х⁴.

20. Напишите равенство Ляпунова для функции

21. Вычислить с помощью равенства Ляпунова интеграл

Найдите разложения в ряды Фурье с помощью степенных рядов для следующих 2-периодических функций:

Докажите равенства:

27.

28. Как нужно продолжить функцию f(x) с интервала на интервале (-,), чтобы выполнялось равенство

29. Как нужно продолжить функцию f(x) с интервала на интервал

(-,), чтобы выполнялась равенство

Найдите преобразования Фурье от следующих функций:

36.

37.

38. Найдите четное и нечетное преобразование Фурье для функции продолжая ее четным или нечетным способом.