Построение доверительного интервала.

Рассмотрим выборку , которая извлечена из генеральной совокупности с плотностью . Обозначим через плотность вероятности оценки параметра , причем . Зададим некоторое число , которое имеет значения . Для каждого фиксированного значения плотность величины можно понимать, как распределение единичной массы на вертикальной прямой плоскости .

П редположим, что для каждого значения определены два числа: и , причем такие, что количество массы, попадающей на интервал при всех значениях будет константой.

, причем, вероятность того, что это так для любой выборки из значений. Числа зависят от , при изменении которого меняются координаты точек и , которые описывают две кривые на плоскости .

Пусть и – точки пересечения этих кривых с прямой, параллельной оси . Эти точки зависят от и , а –это область между кривыми и . Условия и

выражают, что точка принадлежит области .

При любых будет выполняться . Если выбрать достаточно малым, то вероятность , а следовательно событие будет всегда достоверно.

Испытания успешны, если интервал накрывает точку , и неуспешны в обратном случае. Вероятность успеха равна , как и частота успеха. Числа и называются доверительными пределами, а интервал –доверительным интервалом для , соответствующий коэффициенту доверия .

ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА ДЛЯ М.О. ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ.

Имеется выборка , каждое значение которой есть с.в., независимая и нормально распределенная с параметрами и , или . Причем, известна. Величина . Необходимо оценить точность .

;

;

, а значит , имеет нормальное распределение.

Вероятность того, что

описывается интегралом Лапласа . Зададим уровень доверия отсюда

Если выбрано достаточно большим, то событие можно считать достоверным. Тогда для длина доверительного интервала будет равна , что и требовалось найти.

Примечание: – это решение.

ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА ДЛЯ М.О. ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ.

В выборке из нормально распределенной генеральной совокупности, выборочное среднее и выборочная дисперсия независимы.

Величина распределена нормально с параметрами , а величина имеет распределение с степенью свободы. Рассмотрим две с.в. нормально распределенную с параметрами и с распределением с степенью свободы: ;

Величина имеет распределение Стьюдента с степенью свободы.

Зададим коэффициент доверия, и предположим, что ему соответствует уравнение , где – плотность распределения Стьюдента.

Вероятность , и если выбрано достаточно близким к , то практически достоверная величина, а значит

, и следовательно, для длина доверительного интервала будет равна , что и требовалось найти.

Примечание: – это решение.