- •Понятие марковского случайного процесса. Марковское свойство.
- •Процесс случайного блуждания.
- •Понятие выборки. Вариационный ряд. Гистограмма, полигон частот.
- •Построение доверительного интервала.
- •Свойства оценок неизвестных параметров. Классификация оценок. Оценка методом моментов.
- •Классификация состояний цепей маркова. Уравнение колмогорова.
Понятие выборки. Вариационный ряд. Гистограмма, полигон частот.
Выборка – совокупность значений, принимаемых с.в. при измерении. Пусть при измерении с.в. имеет значения . Объем такой выборки равен .
Имея значения выборки строим вариационный ряд – размещение выборочных значений по возрастанию или убыванию.
Размах выборки определяется из вариационного ряда, как .
Для определения частот выполняется группировка. Если имеется выборка объемом , то количество интервалов для значений с.в. находится из формулы Стерджеса как .
Зная размах выборки и количество интервалов можно найти ширину каждого интервала как . Частота равна количеству значений, попавших на интервал ширины .
Здесь — называется полигоном частот, а ломаная пунктирная – гистограммой. С уменьшением интервалов ломаная превращается в гладкую (аналогично плотности распределения).
ГИСТОГРАММА И ПОЛИГОН ЧАСТОТ.
Для определения частот выполняется группировка. Если имеется выборка объемом , то количество интервалов для значений с.в. находится из формулы Стерджеса как .
З ная количество интервалов можно найти ширину каждого интервала как , где размах выборки. Частота равна количеству значений, попавших на интервал ширины .
Здесь — называется полигоном частот, а ломаная пунктирная – гистограммой. С уменьшением интервалов ломаная превращается в гладкую (аналогично плотности распределения).
ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС.
Постулаты:
1) Вероятность того, что в интервале времени произойдет изменение состояния равна , где – интенсивность процесса.
2) Вероятность того, что в интервале времени не произойдет изменения состояния равна .
3) Вероятность того, что в интервале времени произойдет более одного изменения состояния равна .
Предположим, что произошло изменений в момент времени , тогда
Отсюда Разделив обе части на есть Учитывая, что и запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова , где При решении системы все выражаются через , а находится из условия нормировки.
СИСТЕМА M|Er|1.
– поток Эрланга с числом степеней свободы . Каждая поступившая заявка получает обслуживание на этапах. Из-за этого рассматриваемый процесс в СМО не будет марковским, а значит, не может решаться через систему ДУ Колмогорова.
Пусть имеется СО с последовательными этапами. Время обслуживание на одном этапе имеет экспоненциальное распределение с параметром .
Вероятность того, что это .
– свертка функции.
А налогично находим
Пусть в систему поступило заявок и принесло работы. Если обслуживаемая заявка находится на -том этапе обслуживания, то число этапов, которые предстоит пройти всем заявкам системы равно — связь числа заявок с количеством этапов обслуживания. Зная вероятность того, что в системе имеется этапов можем вычислить вероятность наличия заявок в системе .
СИСТЕМА M|M|1.
В момент времени поступает заявка на обслуживание. Если система обслуживает заявки, то вновь пришедшие становятся в очередь.
Далее по графу состояний строим систему ДУ Колмогорова.
Найдем решения системы, приняв . Имеем
откуда следует, что . По условию нормировки рассмотрим ряд , который для сходится. А значит .
В результате имеем .
МО числа заявок, находящихся в очереди
, для .
МО длины очереди
. Заметим, что .
СИСТЕМА M|M|C.
- число каналов обслуживания. Построим граф переходов состояний системы. Сочтоянием системы является число заявок системы.
Если в системе нет очереди, то граф оканчивается на состоянии .
Запишем систему ДУ Колмогорова.
Для стационарного режима, т.е. , вычисляем все вероятности .
Находим из условия нормировки.
Среднее число заявок системы равно
;
Средняя длина очереди равна .
СИСТЕМА M|M|1|K : КОНЕЧНЫЙ НАКОПИТЕЛЬ.
В этой системе фиксировано число ожидающих заявок, и обозначает ёмкость накопителя (буфера), поэтому любая поступившая заявка получает отказ, если в накопителе нет мест.
З аметим, что
Так как по условию нормировки, то ;
Следовательно , а значит .
Примечание: рассмотреть случай для .
СИСТЕМА С ПЕРЕПОЛНЯЮЩИМ ПОТОКОМ.
Время обслуживания экспоненциально, и один канал обслуживания. Входящий поток переполняет систему, т.е. заявок в системе становится все больше и больше, следовательно, возрастает очередь. Выбор интенсивности входящего потока обусловлен тем, что интенсивность поступающих заявок характеризуется гармоническим рядом в зависимости от числа заявок, находящихся в системе.
По условию нормировки откуда следует
Среднее число заявок системы равно
;
Среднее время пребывания заявки в системе вычислим при помощи формулы Литтла , где – среднее число заявок в системе, – обратная величина времени между поступлением двух заявок. В результате получим .
ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ОЦЕНКА ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОЛИГОН ЧАСТОТ.
Эмпирическая функция распределения определяется по формуле
.С другой стороны, .
В ысота прямоугольников равна накопленной относительной частоте. Ломаная, соединяющая середины прямоугольников называется гистограммой.
На практике часто бывает известно, что функция распределения принадлежит определенному классу распределений, зависящих от одного или нескольких параметров ; В этом случае становится задача определения оценок неизвестных параметров по выборке.
Если имеется выборка , то число – это количество выборочных значений, попавших левее . Тогда и будет оценкой эмпирических значений, где – объем выборки. По закону больших чисел ;