Виды теорем и связь между ними. Примеры.

Теорема - это высказывание, истинность которого уста­навливается посредством рассуждения (док-ва).

С логической т. зр теорема предст собой вы­сказывание вида А  В, где А и В - высказывательные формы с одной или неск переменными. Предложение А на­з условием теоремы, а предложение В – ее заключением.

Например, условием теоремы «если четырехугольник яв­л-ся прямоугольником, то в нем диагонали равны» является предложение «четырехугольник - прямоугольник», а заключением - предложение «в таком четырехугольнике диа­гонали равны».

Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформ-ть предложение «если В, то А», кот наз обрат­ным данному. Однако не всегда это предложение явл-ся теоремой. Рассмотрим теорему «в равнобедренном  углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в  углы при основании равны, то этот - равнобедр». Оно, ис­тинное и поэт явл-ся теоремой. Ее наз теоремой, обратной данной.

Для всяк теоремы вида «если А, то В» можно сф-ть предложение «если не А, то не В», кот наз противоположным данному. Но не всегда это предлож явл-ся теоремой. Н-р, предложение, противоположное теореме «если четырехуг-к явл-ся прямоугольником, то в нем диагонали равны», будет ложным: «если четырехугольник не явл-ся прямоугольником, то в нем диагонали не равны». В том случае, если предложение, противоположное дан­ному, будет истинно, его наз теоремой, противопо­ложной данной.

Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформ-ть предложение «если не В, то не А», кот наз обратным противоположному. Н-р, для теоремы «если четырехуг-к явл-ся прямоуг-ком, то в нем диаго­нали равны» предложение, обратное противоположному, будет таким: «если в четырехуг-ке диагонали не равны, то он (четырех-к) не явл-ся прямоуг-ком». Предложение истинное и, след-но, явл-­ся теоремой. Ее наз обратно противоположной данной.

Пред­ложения, обратные противоположным, всегда будут тео­ремами, п.ч. имеется след равносильность (АВ)  (отрицание ВĀ).

Эту равносильность называют законом контрапозиции.

Мы принимаем его без док-ва. Согласно этому з-ну, предложение, обратно противоположное какой-л теореме, также явл-ся теоремой, и, значит, вместо дан теоремы можно док-ть теорему, обратно противополож

ную данной. Кроме того, из з-на контрапозиции следует, что пред­ложение, обратное данному, и предложение, противополож­ное данному, одновременно истинны либо одновременно ложны. Поэт, рассматривая их, достаточно док-ть (или опровер) какое-н одно; тем самым будет док-но (опровергнуто) и второе.

Если для дан теоремы АВ существует обратная В  А, то их можно объединить в одну А  В, и то­гда в формулировке будут исп-ся слова «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда, когда». Например, объ­единение теоремы «в равнобедр  углы при основании равны» и «если в  углы при основа­нии равны, то  - равнобедрен» в одну, полу­чим теорему: « будет равнобедренным тогда и только тогда, когда в нем углы при основании равны».

Можно сформулировать ее иначе: «для того, чтобы  был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы в нем углы при основании были равны».

С др стороны, если теорема им вид равносильности А  В, то это значит, что она состоит из двух взаимно обрат­ных теорем А  В и В  А и, следовательно, ее док-­во сводится к док-ву двух указанных теорем.

Если усл или заключение дан теоремы предст собой конъюнкцию или дизъюнкцию, то, чтобы получить предложение, противоположное данному, нужно учитывать правила построения отрицания конъюнк­ции и дизъюнкции. Н-р, дана теорема «если число де­лится на 3 и 4, то оно делится на 12». Предложение, противо­положное данному, можно сформулировать так: «если число не делится на 12, то оно не делится на 3 или не делится на 4».