Понятие высказывания. Простые и составные высказывания. Равные высказывания. Таблица истинности и их применения.

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания».

Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведем примеры высказываний.

1) Санкт –Петербург стоит на Неве.

2) Париж — столица Англии.

3) Карась не рыба.

4) Число 6 делится на 2 и на 3.

5) Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.

Высказывания 1), 4), 5) истинны, а высказывания 2) и 3) ложны.

Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием.

Различают два вида высказываний.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным.

Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если .... то ...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.

Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Карась - рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на З», соединенных союзом «и». Высказывание 5) получается из простых высказываний «Юноша окончил среднюю школу», «Юноша получает аттестат зрелости» с помощью грамматической связки «если ..., то ...». Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».

В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, ..., а, b, с, ...; истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение - буквой цифрой 0.

Если высказывание а истинно, то будем писать а = 1, а если а ложно, то а = 0.

Операции над высказываниями : дизъюнкция, конъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция, разделительная дизъюнкция, штрих Шеффера, стрелка Пирса. Свойства.

Импликация (условное суждение) - лог. связка "Если…, то…" Обычно обозначается знаком "→". "Если перерезать провод, то лампа погаснет" - первое суждение "перерезать провод" называется основание (антецендент), второе - "лампа погаснет" - следствие (консеквент).

Таблица истинности для импликации

p	q	p→q
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

      Импликативные суждения истинны во всех случаях, кроме одного когда антецедент - истинен, а консеквент - ложен. То есть в случае, когда причина возникла, а следствие не наступает, вся импликация является ложной. Зависимость между основанием и следствием характеризуется свойством достаточности: истинность основания обусловливает истинность следствия (1-я строка таблицы), но не необходимости: при ложности основания следствие может быть как истинным, так и ложным (3-я и 4-я строки в таблице). "Если плохо одевать зимой, то можно заболеть" - если основание ложно, то следствие неопределенно. Возьмем те же высказывания Р и Q. С помощью импликации составим новое высказывание: Р→Q – «Если Вася выучил теорему, то он получил пятерку», или «из того что Вася выучил теорему , следует что  он получил пятерку».

Высказывание Р→Q – «Если Вася выучил теорему, то он получил пятерку» будет ложно только если предпосылка Р будет истинна, а заключение Q –  ложно (см. таблицу).Если высказывание Р→Q истинно, то говорят, что Р логически следует из Q, обозначается  РÞQ.

Конъюнкцией высказываний А u В называет­ся высказывание А Λ В, которое истинно, когда оба выска­зыванuя истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.

Дизъюнкцией высказываний А и В называет­ся высказывание А v В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны. КОНЪЮНКЦИЯ

А	В	АΛВ
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

«Число 28 делится на 7 и на 9» конъюнкция, первое истинно, второе ложно, поэт высказывание ложно (по опр.).

1º АΛ В=В Λ А (коммутативность)

2º (А Λ В) Λ С= А Λ (В Λ С) (ассоц-ть)

3º А Λ А=А

4º А Λ и= А

5º А Λ л= л

6º(А v В) ΛС= (А Λ С) v (В Λ С) дистрибу-

тивность конъюнкции относ-но дизъюнкции

7º(А Λ В) v С= (А v С) Λ (В v С) дистрибу-

тивность дизъюнкции относ-но конъюнкции

8º(А Λ В) v А= А кто больше съел того, кого

9º(А v В) Λ А= А меньше

ДИЗЪЮНКЦИЯ

А	В	Аv В
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

«Число 28 делится на 7 или на 9», «15 кратно 3» -истинно.

1º Аv В=В v А (коммутативность)

2º (Аv В) v С= Аv (ВvС) (ассоциативность)

3º Аv А=А

4º Аv и= и

5º Аv л= А

Отрицание – логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое высказывание, такое, что если исходное высказывание истинно, его отрицание является ложным, и наоборот. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания «10 – четное число» является высказывание «10 не есть четное число» (или: «Неверно, что 10 есть четное число»). Обозначим высказывания буквами А, В, С,... Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание А истинно, его отрицание ложно, и если А ложно, его отрицание истинно. Например, так как высказывание «1 есть целое положительное число» истинно, его отрицание «1 не является целым положительным числом» ложно, а так как «1 есть простое число» ложно, его отрицание «1 не есть простое число» истинно.

Эквиваленцей (или эквивалентностью) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний х, у обозначается символом х ↔у , читается «для того, чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы у» или «х тогда и только тогда, когда у». Высказывания х, у называются членами эквиваленции.

Логические значения операции эквиваленции описываются следующей таблицей истинности:

Например, эквиваленция: «Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный тогда и только тогда, когда SP = SQ » является истинной, так как высказывания «Треугольник .SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный» и «В треугольнике SPQ с вершиной S и основанием PQ SP = SQ » либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы заключаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.

Разделительная дизъюнкция высказываний А ΛВ является высказывание А В.

А	В	А В
И	И	Л
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

1 º А В = В А

2 º (А В) С = А (В С)

3 º А А = л

4 º А И = А

Штрих Шеффера и стрелка Пирса

Штрихом Шефера (отрицание конъюнкции) высказываний А и В наз-ся выск. А│В (штрих) с таблицей истинности

АВ	А│В
ии	л
ил	И
ли
лл

Св-ва

1) А│В = В│А (коммутативность)

2) (А│В)│С = А│(В│С) (ассоциативность)

3) А│А = А ۸ А = А (нет идемпотентности)

4) А│И = А

И│В = ¯͞В

А│Л = И

Л│В = И

(ни того, ни другого)

Эта операция обладает одним единственным свойством: через неё можно выразить все остальные логические операции.

В силу свойства 3) ͞А = А│А.

Т.к. А│В = Аʌ͞͞В (-), то АʌВ = ͞А│͞В (-) → АʌВ = А│В (-) = (А│В) │(А│)

АvВ (-) = (з.дм.) = ͞Аʌ͞ ͞В → АvВ = ͞А v͞ ͞В (-) = (͞А ʌ ͞В) │ (͞А ʌ ͞В) и т.д.

Стрелкой Пирса (отрицание дизъюнкции) высказываний А и В называется высказывание А↓В (стрелка) с таблицей истинности

АВ	А↓В
ии	Л
ил
ли
лл	и

Видим, что А↓В = АvВ (-), А↓В (-) = АvВ т.о. А↓В = АvВ (-) =(з.дм.) ͞Аʌ͞͞ ͞В

А↓В озвучивается как «ни то, ни сё». Через стрелку Пирса выражаются все остальные логические операции.

͞x ≡ x↓x

x ʌ y ≡ (x↓x) ↓ (y↓y)

x ∨ y ≡ (x↓y) ↓ (x↓y)

x → y ≡ ((x↓x) ↓ y) ↓ ((x↓x) ↓ y)

(Возможен вариант с А и В)