2. Математическое ожидание, дисперсия, корреляция

Математическим ожиданием (средним значением по распределению) дискретной случайной величины называется действительное число, определяемое формулой

,

где - значение случайной величины в k-ом опыте, а - вероятность того, что случайная величина примет это значение.

Дисперсией дискретной случайной величины X называется неотрицательное число , определяемое формулой

.

Неотрицательное число называется среднеквадратичным отклонением случайной величины X и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный относительно математического ожидания.

Двумерный случайный вектор (X,Y) называется случайным вектором дискретного типа (СВДТ), если множество его возможных значений не более чем счетно.

Центральным моментом порядка k+s дискретного случайного вектора (X,Y) называется действительное число , определяемое формулой

Центральный момент называется ковариацией и обозначается . Таким образом, по определению

.

Нормированная ковариация называется коэффициентом корреляции двух случайных компонент X и Y случайного вектора. Коэффициент корреляции удовлетворяет условию и определяет степень линейной зависимости между X и Y.

В математической статистике рассматриваются выборочные распределения, т.е. распределения случайных дискретных величин, принимающих n значений, вероятность каждого из которых равна 1/n. Выборочные числовые характеристики являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распределения генеральной совокупности.

Выборочное математическое ожидание (выборочное среднее) для выборки объема n определяется формулой

.

Соответственно выборочная дисперсия определяется формулой

.

Выборочный коэффициент корреляции определяется формулой

Найдем выборочные характеристики заданных случайных величин.

3. Доверительные интервалы

При статистической обработке данных часто необходимо найти не только оценку неизвестного параметра, но и точность этой оценки. Для этого вводится понятие доверительного интервала.

Доверительным интервалом для параметра называется интервал , содержащий истинное значение с заданной вероятностью , т.е.

.

Число называется доверительной вероятностью, а значение - уровнем значимости. Статистики и называются соответственно нижней и верхней границами доверительного интервала.

1. Нахождение доверительного интервала математического ожидания.

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, а в качестве ее оценки используется статистика , то при доверительной вероятности доверительный интервал для математического ожидания m имеет вид

,

где - квантиль распределения Стьюдента с n-1 степенью свободы.

• Статистика

= 42,837=3,894 = 852,609=77,509

• Квантиль распределения Стьюдента

(11) = 2,201

(11) = 2,718

(11) = 4,025

• Доверительный интервал для математического ожидания X:

(11) : 103,275 2,201 < < 103,275 + 2,201

101,966 < <104,585

(11) : 103,275 2,718 < < 103,275 + 2,718

101,658 < <104,892

(11) : 103,275 4,025 < < 103,275 + 4,025

100,880 < <105,670

• Доверительный интервал для математического ожидания Y:

(11) : 115,983 2,201 < < 115,983 + 2,201

110,141 < < 121,826

(11): 115,983 2,718 < < 115,983 + 2,718

108,768 < < 123,198

(11) : 115,983 4,025 < < 115,983 + 4,025

105,299 < < 126,667

б) Нахождение доверительного интервала для дисперсии.

Если математическое ожидание неизвестно, и в качестве его оценки используется выборочное среднее, а в качестве оценки дисперсии используется статистика , то при доверительной вероятности доверительный интервал для дисперсии имеет вид

,

где - квантиль распределения Хи-квадрат с n-1 степенью свободы.

• Квантиль распределения :

= 21,9 = 3,82

• Доверительный интервал для дисперсии X:

< <

1,956 < <11,213

• Доверительный интервал для дисперсии Y:

< <

38,932 < < 223,194