Спираль Архимеда
Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением для .
Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:
r(φ) = a + bφ.
Изменения параметра a приводят к повороту спирали, а параметра b — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для φ > 0 а другую для φ < 0. Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.
[править] Конические сечения
Эллипс.
Коническое сечение, один из полюсов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:
где e — эксцентриситет, а — фокальный параметр. Если e > 1, это уравнение определяет гиперболу; если e = 1, то параболу; если e < 1, то эллипс. Отдельным случаем является e = 0, определяющее окружность с радиусом .
Комплексные числа
Пример комплексного числа , нанесённого на комплексную плоскость.
Пример комплексного числа, нанесённого на график, с использованием формулы Эйлера.
Каждое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, эта точка может определяться в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), либо в полярных координатах (полярная форма). Комплексное число z может быть записано в прямоугольной форме так:
z = x + iy,
где i — мнимая единица, или в полярной (см. формулы преобразования между системами координат выше):
и отсюда:
z = reiφ,
где e — число Эйлера. Благодаря формуле Эйлера, оба представления эквивалентны[16] (Следует отметить, что в этой формуле, подобно остальным формулам, содержащим возведения в степень углов, угол задан в радианах)
Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел, могут использоваться указанные выше формулы преобразования между системами координат.
Операции умножения, деления и возведения в степень с комплексными числами, как правило, проще проводить в полярной форме. Согласно правилам возведения в степень:
Умножение:
Деление:
Возведение в степень (формула Муавра):
(reiφ)n = rneinφ.
Векторный анализ
Для полярных координат можно применить элементы векторного анализа. Любое векторное поле можно записать в полярной системе координат, используя единичные векторы:
в направлении , и
Связь между декартовыми компонентами поля Fx и Fy и его компонентами в полярной системе координат задаётся уравнениями:
Fx = Frcos φ − Fφsin φ;
Fy = Frsin φ + Fφcos φ.