Связь между декартовыми и полярными координатами
Пару полярных координат r и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:
x = rcos φ,
y = rsin φ,
в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:
r2 = y2 + x2 (по теореме Пифагора).
Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующие соображения:
Для , может быть произвольным действительным числом.
Для , чтобы получить уникальное значение , следует ограничиться интервалом в 2π. Обычно выбирают интервал или .
Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями (arctg обозначает обратную функцию к тангенсу):
Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:[14]
Учитывая, что для вычисления полярного угла не достаточно знать отношение y к x, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции atan, определяющей арктангенс числа, ещё и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя. В языках программирования, поддерживающих необязательные аргументы (например, в Common Lisp), функция atan может получать значение координаты x.
Уравнение кривых в полярных координатах
Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат были бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.
Окружность
Круг, заданный уравнением .
Общее уравнение окружности с центром в ( ) и радиусом a имеет вид:
Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например
r(φ) = a
является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом a.[15]
Прямая
Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением
φ = θ,
где θ — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, где m — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую φ = θ в точке определяется уравнением
r(φ) = r0sec(φ − θ).
Полярная роза
Полярная роза задана уравнением .
Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:
r(φ) = acos(kφ + θ0)
для произвольной постоянной θ0 (включая 0). Если k — целое число, то это уравнение будет определять розу с k лепестками для нечётных k, либо с 2k лепестками для чётных k. Если k — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная a определяет длину лепестков.
Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном k мы будем иметь k - лепестковую розу. Таким образом, уравнение r(φ) = cos(2φ) будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус - это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.