Символ М( ; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .

Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

, .

В этом же случае формулы

,

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.

Полярная система координат

П олярная система координат – система плоских координат образованная направленным прямым лучом OX, называющимся полярной осью. Чаще всего за полярную ось принимают ось северного направления какого-либо меридиана. Начало координат - точка O - называется полюсом системы.

Положение любой точки в полярной системе определяется двумя координатами: радиусом-вектором r (или полярным расстоянием S) – расстоянием от полюса до точки, и полярным углом  при точке O, образованным осью OX и радиусом вектором точки и отсчитываемым от оси OX по ходу часовой стрелки.

Под полярным углом  в геодезии часто принимают дирекционный угол направления, с помощью которого определяют координаты точек и расстояния между ними.

П ереход от прямоугольных координат к полярным и обратно для случая, когда начала обеих систем находятся в одной точке и оси OX у них совпадают, выполняется по формулам прямой геодезической задачи:

tg = Y/X,  = arctg(Y/X)

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.^[1]

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Графическое представление

Точка в полярной системе координат.

Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, что обычно называются r (радиальная координата) и (угловая координата, полярный угол, азимут, иногда пишут θ или t). Координата r соответствует расстоянию до полюса, а координата равна углу в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называется полярной осью)^[1].

Например, точка с координатами будет выглядеть на графике как точка на луче, который лежит под углом 60° к полярной оси, на расстоянии 3 единиц от полюса. Точка с координатами будет нарисована на том же месте, поскольку отрицательное расстояние изображается в положительную в противоположном направлении (на 180°).

Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для определения азимута точки нужно повернуть полярную ось так, чтобы он указывал на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. В общем случае точка может быть представлена в виде или , где n — произвольное целое число^[10].

Для обозначения полюса используют координаты . Независимо от координаты точка с нулевым расстоянием от полюса всегда находится на нём^[11]. Для получения однозначных координат точки, обычно следует ограничить значение расстояния до неотрицательных значений , а угол к интервалу или (в радианах или )^[12].

Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом . Выбор, как правило, зависит от области применения. В навигации традиционно используют градусы, в то время как в некоторых разделах физики, и почти во всех разделах математики используют радианы^[13].