Ограниченные и неограниченные последовательности
Поскольку последовательности являются числовыми множествами, то естественно ввести понятие их ограниченности, как это было сделано для множеств в параграфе 1.4.
■ Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (число т), что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству ).
■ Определение 3. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа т и М, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам .
Пусть , тогда условие ограниченности последовательности можно записать в форме
■ Определение 4. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А существует элемент , этой последовательности, удовлетворяющий неравенству
Из определений 2—4 следует, что все элементы ограниченной сверху последовательности принадлежат промежутку а ограниченной снизу — лежат на промежутке . Неограниченная последовательность может быть ограничена сверху (снизу). Все элементы ограниченной последовательности принадлежат отрезку .
Рассмотрим несколько примеров последовательностей.
Последовательность не ограничена снизу, но ограничена сверху.
Последовательность ограничена, так как любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам .
3) Последовательность неограниченная. Действительно, каково бы ни было число , среди элементов этой последовательности найдутся элементы, для которых будет выполняться неравенство .
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
■ Определение 5. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует такой номер N, что при (для всех элементов последовательности с номерами выполняется неравенство .
Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Обратное утверждение неверно: неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, 1, 4, ..., 1, n, ... не является бесконечно большой, так как при неравенство не выполняется для всех элементов с нечетными номерами.
■ Определение 6. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа существует такой номер N , что при выполняется неравенство .
Приведем примеры бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
Докажем, используя определение 5, что последовательность {n} является бесконечно большой. Возьмем любое число . Из неравенства получаем . Если выбрать , то для всех будет выполняться неравенство .
Докажем, что последовательность является бесконечно малой. Возьмем произвольное число . Из неравенства определения 6 получаем, что . Если принять , то для всех будет выполняться неравенство , т.е. . Тогда, согласно определению 6, последовательность является бесконечно малой.
Теперь докажем теорему, устанавливающую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
▼ Теорема 2.1. Если — бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность бесконечно малая. Если все элементы бесконечно малой последовательности отличны от нуля, то последовательность бесконечно большая.
Доказательство. Пусть — бесконечно большая последовательность. Для произвольно взятого числа положим . Согласно определению 5, для этого А существует такой номер N, что при выполняется неравенство . Отсюда получаем: для всех , т.е. последовательность является бесконечно малой, согласно определению 6.
Доказательство второй части теоремы проводится аналогично. ▲