1.5. Абсолютная величина числа

По определению абсолютная величина вещественного числа х (модуль числа)

Рассмотрим свойства абсолютной величины.

Это свойство непосредственно вытекает из определения модуля числа: если число неотрицательно, его абсолютная величина равна са­мому числу; модуль отрицательного числа равен этому числу, взятому с обратным знаком.

Также следует из определения модуля числа (1.4).

Если , то и тогда , отсюда , т.е. ;

если , то по выражению (1.4) , откуда . Но так как , то и получаем .

. Пусть а — положительное число, тогда неравенства равносильны.

Пусть , выведем отсюда второе неравенство.

Если , то , т.е. или

Если , то , откуда , или .

Объединяя полученные неравенства, получаем

Пусть теперь справедливо неравенство ; покажем, что отсюда следует первое неравенство. Действительно, одновременно вы­полняются неравенства и . Из второго неравенства имеем: . По определению модуля числа [см. формулу (1.4)] он равен либо , либо , т.е. отсюда и следует, что .

. Для любых двух действительных чисел и справедливо неравен­ство

По свойству

,

Складывая эти неравенства почленно, получаем

Но по свойству эти неравенства равносильны двойному нера­венству (1.5).

В это свойство можно включить также и двойное неравенство

. Для любых двух действительных чисел х и у справедливо неравен­ство

Очевидно тождество для любых двух чисел х и у

По свойству

откуда и получаем утверждение (1.7).

Глава 2. Предел последовательности

2.1. Числовые последовательности

Числовые последовательности и операции над ними

Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примерами последовательностей могут служить: последовательность всех членов арифметической и геометрической прогрессий, последовательность приближенных значений последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последовательности.

■ Определение 1. Если каждому числу п из натурального ряда чи­сел 1, 2, 3, .:., п, ... поставлено в соответствие вещественное число , то множество вещественных чисел

называется числовой последовательностью или просто последователь­ностью.

Числа будем называть элементами, или членами, последовательности (2.1), символ — общим элементом, или членом, последовательности, а число п — его номером. Сокращенно последова­тельность (2.1) будем обозначать символом . Например, символ обозначает последовательность чисел

Иными словами, под последовательностью можно понимать бес­конечное множество занумерованных элементов или множество пар чи­сел , в которых первое число последовательно принимает значе­ния 1, 2, 3,... . Последовательность считается заданной, если указан спо­соб получения любого ее элемента. Например, формула определяет последовательность 0, 2, 0, 2, ... .

Геометрически последовательность изображается на числовой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соответ­ствующим членам последовательности. На рис. 2.1 изображена после­довательность на числовой прямой.

Рис.2.1

Рассмотрим арифметические действия над числовыми последова­тельностями. Пусть даны последовательности и .

Суммой последовательностей назовем последовательность

или , разностью —

последова­тельность или

Произведением последовательности на число т назовем последо­вательность

Произведением последовательностей назовем последовательность

Частным назовем последовательность

если все члены последовательности отличны от нуля.