1 РасЧёТ разветвЛёНной линейной электрической цепи постоянного тока

1. Условие задачи и исходные данные

Для электрической схемы, изобра­женной на рис.1.1, выполнить следующее:

1. Составить систему уравнений для расчета неизвестных токов в ветвях при помощи законов Кирхгофа.

2. Определить токи во всех ветвях схемы:

а) методом контурных токов;

б) методом узловых потенциалов. Сравнить результаты расчетов.

3. Составить баланс мощностей.

4. Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура с двумя источниками ЭДС.

Дана схема разветвлённой линейной электрической цепи постоянного тока (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Преобразуем схему (рис. 1.1). Заменим источник тока J на источник ЭДС E₄ (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Рассчитаем E₄.

E₄ = J • R₃; E₄ = 7,2 В.

Метод уравнений Кирхгофа.

Пример 1. Составить уравнения по законам Кирхгофа для определения токов ветвей в схеме, приведённой на рис.2.1.

Дано: E₁, E₂, E₃, E₄, R₁, R₂, R₃, R₄, R₅.

I₃

Рис 2.1

Решение:

В схеме (рис. 2.1) 6 ветвей, четыре узла и 3 независимых контура. Ток J известен, поэтому неизвестных токов в схеме 6. Тогда для расчёта токов данным методом необходимо составить систему из шести уравнений, в которой три уравнения должны быть записаны по первому закону Кирхгофа и три – по второму.

Выбираем произвольно направления токов в ветвях и направления обхода контуров (например, по часовой стрелке). Записываем систему из шести урав­нений, совместное решение которых дает искомые токи:

узел 1: -I₃ + I₄ – I₅ = 0;

узел 2: I₁ + I₂ + I₃ = 0;

узел 3: -I₁ – I₂ + I₆ = 0;

контур I: I₁R₁ – I₂R₂ = E₁;

контур II: I₂R₂ – I₃R₃ – I₄R₄ = E₂ – E₃ = E₄;

контур III: I₄R₄ + I₅R₅ = E₃.

Метод контурных токов.

Пример 2. Определить токи ветвей в схеме, приведённой на рис. 2.2.

Дано: E₁ = 12 В; E₂ = 5 В; E₃ = 8 В; J = 1,2 А; R₁ = 7 Ом; R₂ = 2 Ом;

R₃ = 6 Ом; R₄ = 11 Ом; R₅ = 4 Ом.

I₃

Рис 2.2

Решение:

Выбираем произвольно направления трёх контурных токов. В общем виде составляем систему уравнений относительно трёх неизвестных контурных токов.

I₁₁R₁₁ + I₂₂R₁₂ + I₃₃R₁₃ = E₁₁;

I₁₁R₂₁ + I₂₂R₂₂ + I₃₃R₂₃ = E₂₂;

I₁₁R₃₁ + I₂₂R₃₂ + I₃₃R₃₃ = E₃₃;

где: R₁₁ = R₁ + R₂; R₁₁=9 Ом;

R₂₂ = R₂ + R₃ + R₄; R₂₂ = 19 Ом;

R₃₃ = R₄ + R₅; R₃₃ = 15 Ом;

R₁₂ = R₂₁ = -R₂; R₁₂ = R₂₁ = -2 Ом;

R₁₃ = R₃₁ = 0;

R₂₃ = R₃₂ = -R₄; R₂₃ = R₃₂ = -11 Ом;

E₁₁ = E₁; E₁₁ = 12 В;

E₂₂ = E₂ – E₃ – E₄; E₂₂ = -10,2 В;

E₃₃ = E₃; E₃₃ = 8 В.

После подстановки система уравнений принимает вид:

I₁₁9 – I₂₂2 = 12;

-I₁₁2 + I₂₂19 – I₃₃11 = -10,2;

-I₂₂11 + I₃₃15 = 8.

По правилу Крамера

I₁₁ = 1,298; I₂₂ = -0,159; I₃₃ = 0,417.

В итоге токи ветвей

I₁ = I₁₁; I₁ = 1,298 А;

I₂ = I₂₂ – I₁₁; I₂ = -1,457 А;

I₃ = -I₂₂; I₃ = 0,159 А;

I₄ = I₃₃ – I₂₂; I₄ = 0,576 А;

I₅ = I₃₃; I₅ = 0,417 А;

I₆ = I₂₂; I₆ = -0,159 А.

Знак “минус” у токов I₂, I₆ указывает на то, что в действительности эти токи имеют направления, противоположные указанным на схеме.

Метод узловых потенциалов.

Пример 3. Определить токи ветвей в схеме (рис. 2.2), используя данные предыдущей задачи.

Решение:

Заземляем узел 4 (φ₄ = 0). Кроме того, ветвь между узлами 3 и 4 содержит только источник ЭДС, следовательно, независимо от величины протекающего тока I₆ величина ф₃ также известна: φ₃ = Е₂ (направление Е₂ к узлу 3). Таким об­разом, в задаче неизвестными являются потенциалы двух узлов - φ₁, φ₂ - и дос­таточно составить систему из двух уравнений, где должны быть учтены связи с потенциалом φ₃:

Решив систему уравнений, получили:

φ₁ = 1,667 В; φ₂ = 7,914 В.

С учётом известных φ₃ = 5 В и φ₄ = 0 рассчитываем токи ветвей:

I₁ = ; I₁ = 1,298 А;

I₂ = ; I₂ = -1,457 А;

I₃ = ; I₃ = 0,159 А;

I₄ = ; I4 = 0,576 А;

I₅ = ; I₅ = 0,417 А.

Ток I₆ находим по первому закону Кирхгофа, например, для узла 3:

-I₁ – I₂ + I₆ = 0; I₁ + I₂ = I₆; I₆ = -0,159 А.

Р

Таблица 1.1

езультаты расчёта токов различными методами приведены в табл. 1.1.

Окончательный вывод о правильности расчёта токов можно сделать после проверки выполнения баланса мощностей.

Составление баланса мощностей.

Пример 4. Составить баланс мощностей для схема, которая приведена на рис. 2.2

Решение:

E₁I₁ + E₂I₆ + E₃I₄ + E₄I₃ = I₁²R₁ + I₂²R₃ + I₃²R₃ + I₄²R₄ + I₅²R₅

Подставляя значения E и R из данных задачи, а также токи, рассчитанные любым методом, получаем:

; .

Расхождение составляет:

Построение потенциальной диаграммы.

Потенциальная диаграмма представляет собой график распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. Каждой точке участка или контура соответствует своя точка на диаграмме с определённым значением потенциала.

Пример 5. Построить потенциальную диграмму для замкнутого контура 4-3-2-a-1-b-4, содержащего три источника ЭДС – E₂, E₃ и E₄ (рис. 2.2).

Дано: E₂ = 5 В, E₃ = 8 В, E₄ = 7,2 В, R₂ = 2 Ом, R₃ = 6 Ом, R₄ = 11 Ом,

I₂ = -1,457 А, I₃ = 0,159 А, I₄ = 0,576 А.

Решение:

П

I₃

риравняем к нулю потенциал любой точки контура, например, φ₄ = 0.

Совершая в любом направлении обход заданного контура, определяем потенциалы остальных отмеченных на рис 1.3 точек, учитывая следующее:

Рис. 2.3

а) при переходе через сопротивление потенциал понижается на величину, если направление обхода совпадает с направлением тока, и повышается – при встречном направлении;

б) при переходе через источник ЭДС потенциал повышается на величину, если обход осуществляется по направлению ЭДС, и понижается, если направление обхода встречно направлению ЭДС.

Выберем направление обхода по часовой стрелке, составим уравнения для определения потенциалов каждой точки контура, подставим заданные зна­чения токов, сопротивлений и ЭДС и тогда получим:

φ₃ = φ₄ + E₂; φ₃ = 5 В;

φ₂ = φ₃ – I₂R₂; φ₂ = 7,914 В;

φ_a = φ₂ – E₄; φ_a = 0,714 В;

φ₁ = φ_a + I₃R₃; φ₁ = 1,668 В;

φ_b = φ₁ + I₄R₄; φ_b = 8,004 В;

φ₄ = φ_b – E₃; φ₄ = 0,004 0.

По оси ординат откладываем величину потенциала. По оси абсцисс - со­противления участка контура в нарастающем порядке, т.е. точка 4 помещается в начало координат, тогда точка 3 располагается без смещения. Точка 2 отстоит от точки 3 в масштабе на 2 Ом. Точка a располагается без смещения. Точка 1 от точки a – на 6 Ом и точка b от точки 1 – на 11 Ом.

Перед построением диаграммы выбираем масштабы потенциалов и сопротивлений, например: m_φ = 1В/см; m_R = 1Ом/см.

Координаты точек контура поместим в табл. 1.2 и построим диаграмму (рис. 2.4).

Координаты	Точки контура
	4	3	2	a	1	b	4
x, Ом	0	0	2	2	8	19	19
y, В	0	5	7,914	0,714	1,668	8,004	0,004

Таблица 1.2

Координаты точек контура