Лабораторна робота №5 обробка результатів багаторазових вимірювань і перевірка гіпотези про закон розподілу

Мета роботи: ознайомитись з методом перевірки гіпотези про нормальний розподіл на основі критерію Пірсона.

Короткі теоретичні відомості

Аналіз результатів експерименту за допомогою математичної статистики часто зводиться до перевірки справедливості припущень, або гіпотез, щодо досліджуваного фізичного явища та отриманих в експерименті даних.

Зазвичай завдання ставиться так: є група результатів спостереженьі висловлюється гіпотеза про те, що ці спостереження можна вважати реалізаціями випадкової величини з обраною формою функції розподілу. Потім методами математичної статистики ця гіпотеза перевіряється і або приймається, або відкидається.

Правило, за яким приймається або відхиляється дана гіпотеза, називається статистичним критерієм. Побудова критерію визначається вибором відповідної функції Т від результатів спостережень, яка служить мірою розходження між реальним (дослідженим) і теоретичним значеннями. Ця функція є випадковою величиною і називається статистикою критерію. При цьому передбачається, що розподіл імовірностей Т може бути обчислено при припущенні, що гіпотеза яка перевіряється вірна. За розподілом статистики Т знаходиться значення Т₀, таке, що якщо гіпотеза вірна, то ймовірність нерівності дорівнює α, де α - заздалегідь заданий рівень значущості.

Якщо в конкретному випадку виявиться, що то гіпотеза відкидається, тоді як нерівність свідчить що гіпотеза вірна.

Перевіримо гіпотезу про нормальність розподілу результатів вимірювань, застосовуючи метод Пірсона.

Для попередньої оцінки виду розподілу за отриманими даними будують гістограму розподілу. Далі проводиться перевірка гіпотези про те, що розподіл даних не суперечить теоретичному розподілу. Якщо значення випадкової величини розподілені по нормальному закону, то ймовірність попадання випадкової величини в певний інтервал значень дорівнює:

(1)

Вимірюючи інтервал в одиницях тобто , вираз (1) можна представити в вигляді:

. (2)

(3)

Функцію називають інтегралом ймовірності. Значення інтеграла ймовірності для різних приведені в додатку 1.

Користуючись значеннями інтеграла ймовірності, можна найти ймовірність попадання випадкової величини в визначений наперед заданий інтервал або визначити величину інтервалу, в який попадає результат вимірювань з заданою ймовірністю.

Крива щільності розподілу похибок характеризує точність експерименту. Чим точніше проведений експеримент, тим гострішою буде крива.

У загальному випадку можливі різні форми закону розподілу похибок, такі як рівномірний, експоненційний розподіл, трикутний закон розподілу та інші. Проте досвід показує, що випадкові похибки вимірювань найчастіше описуються нормальним законом розподілу - законом Гаусса. Відповідний функціональний вираз для розподілу задає формула Гауса:

(4)

де: і – дисперсія і середнє арифметичне значення розподілу.

Характеристики нормального розподілу визначають двома параметрами: середнім квадратичним відхиленням результатів вимірювань і дисперсією .

Дисперсія випадкової величини – це міра розкиду даної випадкової величини, тобто її відхилення від математичного очікування, позначається . Квадратний корінь із дисперсії, називається середньоквадратичним відхиленням , стандартним відхиленням або стандартним розсіюванням. Стандартне відхилення вимірюється в тих же одиницях, що й сама випадкова величина, а дисперсія вимірюється в квадратах цієї одиниці виміру.

На рис.1. наведені криві нормального розподілу, які відповідають різним значенням . При менших значеннях крива більш крутіша. Якщо результати вимірювань розсіяні більше , то крива розсіювання більш розмита.

Рис.1. Криві нормального розподілу

При великому числі спостережень (n> 50) кращими критеріями перевірки даної гіпотези вважають критерій згоди К. Пірсона (критерій ). Зупинимося на критерії . Ідея цього методу полягає у контролі відхилень гістограми експериментальних даних від гістограми з таким же числом інтервалів, побудованої на основі нормального розподілу.

Сума квадратів різниць частот по інтервалам не повинна перевищувати значень , для яких складені таблиці в залежності від рівня значимості критерію q і числа ступенів свободи , де - число інтервалів.