Лабораторна робота № 1
ПОПЕРЕДНЯ ОБРОБКА ВИХІДНОЇ ІНФОРМАЦІЇ В ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗНОЇ ЕКСТРАПОЛЯЦІЇ МЕТОДОМ ЗГЛАДЖУВАННЯ
Мета роботи: навчитись виконувати первинну обробку експериментальної екологічної інформації методом згладжування (плинних середніх).
Короткі теоретичні відомості
Методи екстраполяції тенденцій є найбільш поширеними і розробленими серед всієї сукупності методів прогнозування. Використання екстраполяції в прогнозуванні має у своїй основі припущення про, що досліджуваний процес зміни безначальної характеристики стану довкілля являє собою сукупність двох складових – регулярної і випадкової:
. (1)
Будемо
вважати, що регулярна складова
являє собою гладку функцію від аргументу
(у більшості випадків це час), яка
описується скінченовимірним вектором
параметрів
,
які зберігають свої значення у періоді
упередження прогнозу. Ця складова має
назву тренду,
або рівнем
детермінованої основи процесу,
або тенденцією.
Під всіма цими термінами лежить інтуїтивне
уявлення про деяку вільну від сторонніх
впливів сутність досліджуваного процесу.
Мова йде про інтуїтивне уявлення бо для
більшості природних і технічних процесів
не можна однозначно відділити тренд
від випадкової складової. Все залежить
від того, яка мета відокремлення тренду
і випадкової складової і з якою точністю
це відокремлення проводиться.
Випадкова
складова
зазвичай вважається некорельованим
випадковим процесом із нульовим
математичним очікуванням. Її оцінки
необхідні для подальшого визначення
точності
характеристик прогнозу.
Екстраполяційних методах прогнозування основні зусилля спрямовані на виділення найкращого в певному розумінні тренду и на визначення його прогнозних значень шляхом екстраполяції. Слід зазначити, що методи екстраполяції у багатьох випадках перетинаються із статистичними методами регресійного аналізу. Різниця часто полягає у термінології, позначеннях і запису формул. Багато авторів об’єднують ці методи у єдину групу методів. Слід підкреслити, що прогнозна екстраполяція має багато специфічних рис і прийомів, які дозволяють віднести її до самостійного виду методів прогнозування.
Специфічними рисами прогнозної екстраполяції слід назвати методи попередньої обробки числового ряду з метою доведення його до виду зручного для прогнозування, а також специфічний аналіз логіки і екологічної сутності прогнозованого процесу, які мають суттєвий вплив як на вибір екстраполюючої функції, так і на визначення меж зміни її параметрів.
Попередня обробка вихідного числового ряду спрямована на розв’язок слідуючих задач:
знизити вплив випадкової складової у вихідному числовому ряді, тобто наблизити його до тренду;
подати інформацію, яка міститься у числовому ряду у такому вигляді, щоб якомога знизити складність математичного опису тренду.
Процедура згладжування націлена на мінімізацію випадкових відхилень точок ряду від деякої гладкої кривої майбутнього тренду досліджуваного процесу. Для цього найчастіше використовують спосіб осереднення рівня згідно з деякою сукупністю точок, які оточують тренд. Ця процедура осереднення послідовно зміщується вздовж ряду точок і має назву процедури визначення ковзаючої середньої. У самому простому варіанті згладжуюча функція лінійна і відповідна група точок вихідного числового ряду складається із попередньої і слідуючої. У більш складних випадках згладжуюча функція нелінійна і використовують довільну групу точок для вирівнювання.
Згладжування
виконується за допомогою багаточленів
(сплайнів), які наближаються за методом
найменших квадратів (МНК) до групи
дослідних точок. Найкраще згладжування
буде для середніх точок групи, тому
треба обирати непарну кількість точок
у згладжуючій групі. Самі групи точок
обирають однотипно ковзаючими по всій
таблиці. Наприклад, по першим точкам
згладжують середню
,
потім по наступним п’яти
точках
згладжують
і так само далі. Крайні точки, які лишились
згладжують за спеціальними формулами.
Найбільш розповсюдженою формою
згладжування є лінійне, яке використовує
багаточлен першого ступеня. Для
згладжування по трьох точках маємо
формули:
(2)
Тут
– значення вихідної і згладженої функції
у середній точці;
– значення вихідної і згладженої функцій
у лівій від середньої точки;
– значення вихідної і згладженої функції
у правій від середньої точки.
Формули
для
і
застосовують, як правило лише по краях
інтервалу.
Аналогічні формули є для згладжування по п’ятьох точках:
(3)
Слід відмітити, що згладжування у простому лінійному варіанті є у багатьох випадках дуже ефективним засобом виявлення тренда при накладанні на емпіричний числовий ряд випадкових завад і похибок вимірювання. Для рядів із значною амплітудою завади роблять багатократні згладжування вихідного числового ряду. Число послідовних циклів згладжування повинно обиратись у залежності від виду вихідного ряду, від ступеню впливу завад, від мети згладжування. Оптимальна кількість циклів згладжування не більше трьох.
У якості критерію, по якому визначають доцільність повторного згладжування можна використати вираз
(4)
де
–
додатне число, яке визначає точність
згладжування;
–
номер точок у вихідній послідовності
даних.
Слід відмітити, що обирають виходячи із загальної точності подання даних в дослідженні.
Загальна
формула згладжування для середньої
точки
ковзаючої
групи, що складається з
точок подається у вигляді:
, (5)
тут
–
запис загального вигляду непарного
числа.
Для великої кількості точок процедуру згладжування можна звести до рекурентної формули
(6)
У таблиці 1 наведено приклад обробки даних шляхом згладжування по трьох- і п’яти-точкових схемах.
Таблиця 1