6.4. Геометрическая интерпретация преобразований Лоренца.

Рассмотрим преобразования Лоренца с помощью геометрического метода, развитого Г. Минковским (1908 г.).

Диаграммы Минковского.

Пусть имеются две ИСО: система и система, движущаяся относительно нештрихованной с постоянной скоростью , при чем так, что в момент времени координатные оси этих систем совпадают. Чтобы сделать рассмотрение наглядным снова воспользуемся для построения диаграмм пространства-времени сечением четырехмерного пространства в плоскости ( , , ). По оси абсцисс диаграммы традиционно откладываем значения пространственной координаты, а по оси ординат – величину , где – скорость света. Обе оси проградуируем в метрах, причем в одном и том же масштабе.

Начнем с построения диаграммы для системы.

Каждая точка диаграммы характеризует некоторое событие и называется мировой точкой. Всякой частице, даже неподвижной, на этой диаграмме соответствует мировая линия. Например, ось - это мировая линия частицы, покоящейся в точке . Ось изображает совокупность всех событий, одновременных с событием .

Мировая линия, соответствующая распространению света из точки в положительном направлении оси , представляет собой биссектрису прямого угла.

Теперь изобразим на этой диаграмме оси и системы отсчета.

Мировую линию начала отсчета системы получим, положив в преобразованиях Лоренца .

.

Тогда

, (6.13)

где , как обычно.

Уравнение (6.13) есть уравнение прямой, которая составляет с осью угол , определяемый из условия .

Полученная прямая – мировая линия – представляет собой совокупность всех событий, происходящих в начале отсчета системы, т.е. ось .

Ось системы – это прямая, изображающая все события, одновременные в системе с событием . Положив в преобразованиях Лоренца

, получим

, или . (6.14)

Отсюда следует, что ось составляет с осью тот же угол ( ), что и между осями и .

Таким образом, оси и системы расположены симметрично по отношению к мировой линии света , и координатная сетка системы ( , ) оказывается косоугольной. Чем больше скорость системы, тем более «сплющенной» будет её координатная сетка, а при она вырождается в мировую линию света.

И последнее, что необходимо сделать на диаграмме, - это проградуировать оси , и , обеих систем отсчета. Проще всего это сделать, воспользовавшись инвариантностью интервала:

.

Отметим на оси системы точку, соответствующую единице времени в системе ( ). Проведем через эту точку гиперболу

,

все точки которой отвечают инвариантному интервалу (при и ). Её асимптотой является мировая линия света.

Точка пересечения этой гиперболой оси соответствует единице времени в системе. Действительно,

, и при .

Аналогично градуируются оси и : возьмем в системе точку , и проведем через неё гиперболу . Тогда точка пересечения её с осью , где , дает единицу длины ( ) в системе (т.к. и , то ).

Построенная таким образом диаграмма – диаграмма Минковского – соответствует переходу от к системе отсчета и отвечает преобразованиям Лоренца. В согласии с принципом относительности для обратного перехода от к системе диаграмма будет иметь совершенно симметричный вид: у системы координатная сетка будет прямоугольной, а у системы – косоугольной.

Диаграмма Минковского позволяет просто и наглядно интерпретировать такие релятивистские эффекты, как относительность понятия одновременности замедление времени и лоренцево сокращение.

Относительность понятия одновременности следует непосредственно из рисунка.

Действительно события и , одновременные в системе, в системе оказываются неодновременными. Событие произойдет позже события на время .

Замедление времени.

Рассмотрим часы и , которые показывали одинаковое время в момент, когда они находились в одной точке пространства ( . Предполагается, что часы неподвижны в системе, а часы – в системе отсчета.

Пусть по часам прошла единица времени ( ); это отвечает событию на диаграмме.

Проведем через точку гиперболу и прямую , характеризующую все события, одновременные в системе с событием . Пересечение оси (мировой линии часов ) с гиперболой

дает точку ( , а с прямой – точку ( . Это значит, что в системе в момент, когда по часам уже прошла единица времени, по движущимся часам единица времени ещё не прошла, т.е. часы идут замедленно.

С помощью этой же диаграммы убедимся, что эффект замедления времени является обратимым. Проведем прямую , параллельную оси , которая характеризует все события, одновременные в системе с событием ( .

Точка пересечения прямой с мировой линией часов системы (осью ) показывает, что т.е., в самом деле, по отношению к системе замедленно идущими оказываются теперь часы системы.

Лоренцево сокращение.

Пусть метровый стержень покоится в системе (отрезок ). Мировые линии его концов – это прямые и .

Чтобы измерить длину этого стержня в системе, надо зафиксировать координаты его концов одновременно в этой системе. Но в системе одновременным с событием или (фиксированием левого конца стержня) является событие – точка пересечения мировой линии правого конца стержня с линией одновременности . Из диаграммы видно, что в системе , т.е. движущийся относительно системы стержень будет короче одного метра.

Так же просто можно показать, что и лоренцево сокращение является обратимым. Если метровый стержень покоится в системе (отрезок ), то, проведя мировые линии его концов в этой системе (О и ), увидим, что в системе при одновременном измерении его концов отрезок , т.е. по отношению к системе лоренцево сокращение будет испытывать стержень.