6.3. Типы интервалов.

Все интервалы можно разделить на вещественные и мнимые в зависимости от того, какая составляющая, временная или пространственная, преобладает в интервале.

Вещественные интервалы называют времениподобными. Для них всегда и .

Мнимые интервалы называют пространственноподобными. Здесь всегда и .

Разделение интервалов на времениподобные и пространственноподобные абсолютно в силу их инвариантности, т.е. свойство интервала быть времени- или пространственноподобным не зависит от выбора системы отсчета.

Границей раздела между вещественными и мнимыми интервалами служит светоподобный интервал, удовлетворяющий условию

Возьмем какое-либо событие в качестве начала отсчета времени и пространственных координат. Поскольку мы не умеем строить четырехмерное изображение, ограничимся сечением четырехмерного пространства при , т.е. займемся псевдоевклидовой геометрией на плоскости ( ).

В этом случае интервал можно записать как .

Прямолинейное равномерное движение частицы,

проходящей через точку с координатой в

момент времени , изобразится прямой линией,

проходящей через точку и наклоненной к оси

под углом , тангенс которого равен , где

скорость частицы.

Поскольку наибольшая возможная скорость

равна , то существует и наибольший угол, который

может образовывать эта прямая с осью .

Прямые, наклоненные под углом с оси

это мировые линии световых лучей. Они разбивают

плоскость на 4 квадранта.

Мировые линии, отображающие движение частиц,

заключены в областях, ограниченных прямыми

, (квадранты и ).

Если рассматривать все три пространственные координаты, то вместо плоской картины мы имели бы «конус» в четырехмерной системе координат, задаваемый уравнением , ось которого совпадает с осью , называемый световым конусом. Тогда области и были бы представлены двумя внутренними полостями этого конуса.

Рассмотрим сначала события, принадлежащие области .

В этой области , следовательно, все события в области происходят «после» события . Интервал, разделяющий событие и любое другое событие в квадранте – времениподобный, т.е. для всех точек выполняется соотношение . Поскольку интервал между любыми событиями этой области времениподобный, то не существует системы отсчета, где какое-либо событие происходило бы одновременно с событием (тогда и ) или «до» него (тогда было бы ). Таким образом, все события в области являются будущими по отношению к событию . Поэтому область называют «абсолютно будущей» по отношению к событию .

Совершенно аналогично обстоит дело в области . Все события, принадлежащие этой области, связаны с событием времениподобным интервалом и во всех системах отсчета происходят «до» события ( ). Область называют «абсолютно прошлой» по отношению к событию .

Два события могут быть причинно связаны только в том случае, если интервал между ними времениподобный.

Это утверждение непосредственно вытекает из второго постулата СТО, устанавливающего, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, большей скорости света. Именно для таких событий имеют абсолютный смысл понятия “раньше” и “позже”, что является необходимым условием для того, чтобы имели смысл понятия причины и следствия.

Если интервал между двумя событиями времениподобный, то существует система отсчета, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Убедимся в этом.

Пусть в системе отсчета координаты событий и соответственно и .

В силу инвариантности интервала

,

но мы хотим, чтобы , т.е. чтобы в системе события и происходили в одном месте.

Тогда

,

т.е. получаем, что интервал между событиями и должен быть вещественным.

Промежуток времени, разделяющий эти события в «штрихованной» системе отсчета, равен

,

События, происходящие с одним и тем же телом, всегда разделены времениподобным интервалом.

Действительно, путь, который проходит тело между двумя событиями, никогда не может превышать величины , следовательно, всегда должно выполняться .

Рассмотрим события, происходящие в областях и . Интервал между событием и любым другим событием этой области – пространственноподобный. , т.е. в любой системе отсчета эти события происходят в разных местах пространства. Поэтому в этих областях лежат мировые точки событий, которые можно назвать «абсолютно удаленными» по отношению к событию .

Однако понятия «одновременно», «раньше», «позже» для этих событий относительны. Для всякого события из областей и можно найти как системы отсчета, в которых оно происходит раньше события , так и системы отсчета, в которых оно происходит позже события . Можно также указать единственную систему отсчета, в которой данное событие происходит одновременно с .

Запишем интервалы, разделяющие события и в и системах отсчета:

.

Пусть , тогда

,

т.е. интервал между событиями и должен быть мнимым.

Т.о., существует такая система отсчета, в которой события и происходят одновременно, однако между ними не может быть причинно-следственной связи.