2. Показатели Ляпунова

Величины _i являются решениями алгебраического уравнения

det |a_ij - _ij_i| = 0 (6)

_ij – символ Кронекера такой, что _ij = 0, если ij и _ij = 1, если i=j.

_i – показатели Ляпунова.

Если ляпуновские показатели отрицательны, то все x_i(t) убывают со временем, поэтому состояние устойчиво. Система после возмущающего воздействия стремится вернуться в стационарное состояние.

Если хотя бы одно из чисел Ляпунова положительно, состояние будет неустойчивым.

В общем случае числа Ляпунова могут быть комплексными. Устойчивость определяется знаком действительной части комплексного числа.

Если среди чисел Ляпунова имеются чисто мнимые или равные нулю, то стационарное состояние называется нейтральным. При отклонении от этого состояния не возникают ни отклоняющие, ни возвращающие силы.

2.1. Анализ неустойчивых движений. Определяется временная зависимость малых отклонений от заданной траектории. Числа Ляпунова при этом уже не постоянны, а зависят от времени.

Траектория неустойчива, если среди ляпуновских показателей имеются такие, вещественные части которых положительны в достаточно большом интервале времени t таком, что t (t) >> 1.

Показатели Ляпунова играют большую роль в теории устойчивости движения. Они являются характеристическими или собственными числами системы.

Они не зависят от начальных условий. Устойчивость (или неустойчивость) является внутренним свойством исследуемой системы, а не результатом внешнего воздействия на систему.

Проявляется устойчивость (неустойчивость) только при малых внешних возмущениях.

Эта особенность привела к важным метологическим последствиям. Сейчас приходится пересматривать и подвергать ревизии некоторые , казалось бы установившиеся в физике понятия.

2.2. Фрактальные объекты. Странные аттракторы характеризуются не целыми, а дробными размерностями. Они являются фрактальными объектами¹. Такие объекты не могут быть ни точками, ни линиями, ни поверхностями, ни вообще топологическими многообразиями.

Размерность характеризует геометрический объект числом переменных, которые необходимо задать, чтобы указать местоположение одной из точек объекта.

Точка на линии – одно число. Точка на плоскости – два. Точка в объеме – три и т. д. Существуют, более абстрактные, способы определения размерности.

Геометрический объект можно характеризовать минимальным числом «клеток», необходимых для покрытия объекта. Число d, определяющее размерность, появляется как показатель степени в соотношении, связывающем число N «клеток» и их размер u.

Рассмотрим пример «канторовского множества»:

Возьмем единичный отрезок. Разделим его на три равные части и удалим среднюю треть. Повторим ту же операцию с каждой оставшейся частью, и т д. бесконечно много раз. Возникнет бесконечное множество «микроотрезков» , которые уже невозможно охарактеризовать их длинами.

Изначально мы имели отрезок единичной длины. После первого шага – два отрезка длиной 1/3. После второго шага – четыре отрезка длиной 1/9, после третьего шага – восемь отрезков длиной 1/27. После n-го шага – 2ⁿ длиной 1/3ⁿ. После счетного множества шагов из единичного отрезка будет удалено

1/3 + 2(1/9) + 4(1/27) + .. = 1, то есть вся длина.

Размерность d канторовского множества при N и u0 определяется соотношением 2ⁿ = (3ⁿ)^d, откуда d = log2/log3  0,63. Канторовскому множеству, которое уже невозможно мыслить как совокупность одномерных отрезков, соответствует дробная размерность, заключенная между 0 (размерность точки) и 1 (размерность линии).

Фрактальные объекты дают возможность по-новому взглянуть на удивительный мир форм, существующих в природе. Большинство этих форм не являются правильными геометрическими объектами, но могут быть охарактеризованы дробными размерностями.

Например, облако является не объемным телом или поверхностью, а некоторым промежуточным геометрическим объектом с размерностью, заключенной между 2 и 3.

Открытие аттракторов с фрактальными размерностями позволяет по-новому увидеть поведение объектов во времени.

Фрактальный аттрактор обладает необычайно тонкой структурой, которая выражает очень сложное поведение во времени.

Понятие аттрактора (особая точка, предельный цикл) - синоним устойчивости и воспроизводимости (выхода «на то же самое») при любых начальных условиях.

Аттракторы с фрактальными размерностями порождают типы поведения, которые невозможно ни предсказать, ни воспроизвести. В любой области странного аттрактора, сколь бы мала она ни была, обнаруживается одна и та же сложная структура. Малейшее различие в начальных условиях или малейшее возмущение не затухает, а усиливается аттрактором. Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям».

2.3. Абсолютно изолированные системы. Это понятие можно ввести (и то далеко не всегда) как предел неизолированной системы при стремлении к нулю величины внешнего воздействия.

Для устойчивых систем такой предел существует, и, следовательно, понятие изолированной системы остается в силе. Для неустойчивых систем такого предела, вообще говоря, нет.

Действительно, предел величины x(t) =  e^t (где  > 0) при 0 и t зависит от порядка стремления аргументов к своим пределам. Формально величину  (она отражает меру внешних воздействий) и время t можно считать независимыми. При сравнительно небольших отрезках времени фактор e^t возрастает столь сильно. что компенсировать его уменьшением  - задача абсурдная. Экспоненциальная зависимость e^t настолько сильна, что конкурировать с ней практически невозможно. Поэтому для неустойчивых систем понятие «абсолютно изолированная система» теряет смысл. Можно говорить только об относительно изолированной системе.

2.4. Бесконечно малое и бесконечно большое. В связи с явлением неустойчивости возникает необходимость пересмотреть такие понятия как «бесконечно малое» и «бесконечно большое».

При небольших отрезках времени, когда отклонения малы, а возмущением можно пренебречь, динамическим расчетам можно доверять даже в случае их неустойчивости.

Условиями доверия являются: t  1/Re  и x(t) << 1. Время t  1/Re  называется интервалом предсказуемости (или горизонтом прогнозирования). При больших отрезках времени (Re t = 100  1000) отклонение x(t) станет большим при любых реальных возмущениях. Чтобы пренебречь возмущениями, необходимо изолировать систему с точностью до x₀  e ^–1000, что невозможно. При этом неважно, в каких единицах измеряются значения x₀ и x(t).

Любые физические величины (длины, массы, временные интервалы, числа частиц и т.д.) в нашем мире ограничены, т.е. выражаются числами в интервале от (10^-100 до 10⁺¹⁰⁰). Большие (или меньшие) числа могут появиться лишь в результате расчета, в котором фигурируют экспоненциальная или же более мощная функция. В связи с этим Эдваром Каснером было введено понятие «гугол» - столь большое число (более 10⁺¹⁰⁰), которое не может соответствовать никакой физической величине.

Возмущение является физической величиной. Поэтому начальное отклонение не может быть меньше 10^-100, тогда как Re t может стать более 100.

Обратный “гугол”, формальнор являющийся конечной величиной, реально рассматривается как величина бесконечно малая.

Вопрос, как ведет себя функция внутри интервала порядка, соизмеримого с обратным «гуголом», лишен смысла. Функцию на таком интервале следует заменить числом (средним по интервалу), поскольку более детальное ее поведение принципиально не наблюдаемо. Это утверждение играет важную практическую роль.

2.5. Причина. В теории динамических систем под причиной обычно понимают начальные условия или импульсные внешние воздействия, которые приводят к определенному результату – следствию.

Словосочетание «вскрыть причинно-следственные связи» означает «понять динамику промежуточных процессов».

Предполагается, что причины и следствия соизмеримы. Для устойчивых или нейтральных процессов это всегда имеет место.

В неустойчивых системах ситуация принципиально иная: очень малая величина приводит к следствию, несоизмеримому по масштабам с причиной. В таких случаях говорят, что причиной явилась неустойчивость, а не малое начальное воздействие.

Хаотические системы характеризуются временным горизонтом, который определяется временем Ляпунова (1/), выполняющего роль внутреннего масштаба времени хаотических систем.

В течение этого времени сохраняет смысл выражение «две одинаковые (одни и те же) системы». Чтобы увеличить интервал времени, в течение которого можно предсказывать траекторию, необходимо увеличивать точность, с которой задано начальное состояние, то есть сузить класс систем, называемых «одними и теми же». Чтобы увеличить в 10 раз время Ляпунова, необходимо увеличить точность задания начального состояния в e¹⁰ раз.

Временной горизонт хаотической системы порождает принципиальное различие между «теперь» и «потом».

Эволюция за пределами ляпуновского времени не допускает индивидуального описания, выражается только в терминах вероятностного описания, одного и того же для всех систем, характеризуемых одним и тем же хаотическим аттрактором, каким бы ни было их начальное условие.

Это – определение хаоса через отрицание возможности предсказания индивидуального поведения при любом уровне нашего знания.

Для хаотических систем законы природы необходимо формулировать в терминах эволюции распределений вероятности, а не в терминах индивидуальных траекторий.

Современные странные аттракторы (фрактальные и не фрактальные) служат великолепной иллюстрацией разнообразнейшего поведения диссипативных систем. Благодаря им меняется наш подход к миру природы. Он становится менее обобщающим и более разведывающим.

2.6. Вероятность. В устойчивых динамических системах понятие «Вероятность» не употребляется и, более того, не имеет смысла. В неустойчивых системах, напротив, достоверные предсказания не имеют смысла и можно говорить лишь о вероятности того или иного результата.

2.7. Неустойчивость. Явление, которое возникает в рамках динамических уравнений, но приводит к тому, что они (уравнения) перестают быть полными. Неустойчивость можно установить (найти числа Ляпунова), но предсказать результат процесса при этом невозможно.

Понятие «Неустойчивость» существенно расширяет и изменяет аксиоматику динамических систем. Ярким следствием этого свойства является «динамический хаос».

Существует класс динамических систем, в которых хаотический режим возникает в некоторых областях фазового пространства. Такие области называют странными аттракторами.

Фазовые траектории входят в эти области (отсюда и термин «аттрактор»), но не выходят из них, запутываются внутри (отсюда термин «странный»).

Странные аттракторы можно рассматривать как стационарные состояния, но не стянутые к одной точке, а размазанные по области фазового пространства. В природе такие системы распространены гораздо шире. Чем можно было бы предположить.

Литература

1. Пригожин И. Р. Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». – 2000. 208 с.

2. Пригожин И.Р., Стенгерс И. Время, хаос, квант. – М.: Издательская группа «Прогресс». 1999. – 268.

3. Николис Г., Пригожин И.Р. Познание сложного. – М.: Мир, 1990.

4. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики.

5. Чернавский Д.С. Синергетика и информация. М.: "Наука", 2001.

1 Термин «фрактал» введен Бенуа Мандельбротом (Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. – San francisco: W.H. Freeman, 1982.)

Фомин Б.Ф. Странные аттракторы. 2011.- 11 с.