Задача 18.

1. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объ­ема V цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее ко­личество материала?

2. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

3. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наи­большей?

4. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса ?

5. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара

радиуса ?

6. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

7. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света.

8. В точках и находятся источники света силы соответствен­но и . Расстояние между источниками равно . На отрезке найти наименее освещенную точку М.

Замечание. Освещенность точки источником света силы F об­ратно пропорционально квадрату расстояния г ее от источника света:

9. Из круглого бревна диаметром d требуется вырезать балку прямоугольного поперечного течения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?

Замечание. Сопротивление балки на изгиб пропорционально про­изведению ширины её поперечного сечения на квадрат его высоты

10. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изго­товление дна бака, равна руб., а стенок руб.. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?

Указание. Рекомендуется принять за аргумент отношение ра­диуса дна бака к его высоте

11. На оси найти точку, из которой отрезок виден под наибольшим углом, если , .

12. Пункт находится на расстоянии 60 км от железной дороги. Расстояние по железной дороге от пункта до ближайшей к пункту точки составляет 285 км.. На каком расстоянии от точки надо построить станцию, чтобы затрачивать наименьшее время на передви­жение между пунктами и , если скорость движения по железной дороге равна 52км/ч, а скорость движения по шоссе равна 20 км/ч?

13. Проволока длиной согнута в прямоугольник. Каковы размеры этого прямоугольника, если его площадь наибольшая?

14. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна .

15. Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверх­ность равна .

16. Турист идет из пункта , находящегося на шоссейной дороге, в пункт расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от до по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт , если скорость его по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч?

17. Канал, ширина которого 27 м, под прямым углом впадает в другой канал шириною 64 м. Какова наибольшая длина бревен, которые можно сплавлять по этой системе каналов?

18. На какой высоте над центром круглого стола радиуса следу­ет поместить электрическую лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей?

Замечание. Яркость освещения выражается формулой , где - сила источника света, - расстояние источника света от освещенной площадки, - угол наклона лучей, .

19. Требуется изготовить конический шатер, данной вместимости . При каком радиусе основания на изготовление шатра, пойдет наи­меньшее количество материала?

20. Сопротивление балки продольному сжатию пропорционально пло­щади поперечного сечения. Требуется из бревна, сечение которого пред­ставляет полукруг радиуса . вырезать балку прямоугольного сече­ния, чтобы ее сопротивление сжатию было наибольшим. Каковы должны быть размеры поперечного сечения балки?

21. Бассейн данной вместимости 200 куб.м. имеет форму прямо­угольного параллелепипеда с открытым верхом, в основании которого лежит квадрат. Стоимость работ по отделке 1кв.м основания - 8.2 ед. руб., а 1 кв.м боковых стен - 5 ед. руб. При каких линейных размерах бассейна стоимость его отделки будет наименьшей?

22. Требуется построить здание высоты и площадью с наи­меньшей затратой материала на наружные стены. Определить длину и ширину стен..

23. Число разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

24. Автомобиль выехал из в со скоростью 80 км/ч, в то же время поезд вышел из в со скоростью 50 км/ч. Угол равен 60°, = 200 -км/ч.. В какое время расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим?

25. Требуется сделать погреб с квадратным основанием так, чтобы при заданном объеме V площадь стен и пола была наименьшей. Каково соотношение высоты погреба и стороны основания?

26. Из всех прямоугольников данной площади S определить тот, периметр которого наименьший.

27. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна. Каковы его острые углы?

28. В полушар радиуса вписан прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объёма. Каковы размеры этого параллелепипеда?

29. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса , чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости?

30. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершённый сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наибольшую боковую поверхность, если его объём равен ?

31. В треугольник с основанием и высотой вписан прямоугольник наибольшей площади. Вычислить его площадь.

32. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны . Определить её большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

33.Найти наибольшее значение произведения двух положительных чисел, сумма которых постоянна и равна .

34. Из всех прямоугольников данной площади найти тот, периметр которого наименьший.

35. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма его катета и гипотенузы постоянна.

36. Найти кратчайшее и наибольшее расстояния от точки до окружности .

37. В конус, радиус основания которого равен , а высота , вписать цилиндр наибольшего объёма.

38. В шар радиусом вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

39. Около данного шара описать конус наименьшего объёма.

40.В шар радиусом вписать цилиндр наибольшего объёма.

41. Найти наибольший объём конуса с данной образующей .

42. Газ, содержащий окись азота, смешивается с воздухом. Определить, при каком содержании кислорода (в %) в полученной смеси скорость окисления азота максимальна и какой объём добавленного к газу воздуха обеспечивает это количество кислорода в смеси.

43. Процессы сульфирования и хлорирования органических соединений часто осуществляется с применением света. Найти, на какой высоте над площадкой следует поместить источник света, чтобы освещённость площадки была максимальной.

44. В расчётной практике по абсорбции, дистилляции, экстракции и выщелачиванию встречается функция . Найти предел этой функции при .

45. Зависимость между количеством вещества, получаемого в результате некоторой химической реакции, и временем выражается уравнением . Определить скорость реакции.

46. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объ­ема V цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее ко­личество материала?

47. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

48. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наи­большей?

49. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса ?

50. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара

радиуса ?

51. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

52. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света.

53. В точках и находятся источники света силы соответствен­но и . Расстояние между источниками равно . На отрезке найти наименее освещенную точку М.

54. На оси найти точку, из которой отрезок виден под наибольшим углом, если , .

55. Пункт находится на расстоянии 60 км от железной дороги. Расстояние по железной дороге от пункта до ближайшей к пункту точки составляет 285 км.. На каком расстоянии от точки надо построить станцию, чтобы затрачивать наименьшее время на передви­жение между пунктами и , если скорость движения по железной дороге равна 52км/ч, а скорость движения по шоссе равна 20 км/ч?

56. Проволока длиной согнута в прямоугольник. Каковы размеры этого прямоугольника, если его площадь наибольшая!

57. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна .

58. Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверх­ность равна .

59. Турист идет из пункта , находящегося на шоссейной дороге, в пункт расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от до по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт , если скорость его по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч!

60. Канал, ширина которого 27 м, под прямым углом впадает в другой канал шириною 64 м, Какова наибольшая длина бревен, которые можно сплавлять по этой системе каналов?

61. На какой высоте над центром круглого стола радиуса следу­ет поместить электрическую лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей?

62. Требуется построить здание высоты и площадью с наи­меньшей затратой материала на наружные стены. Определить длину и ширину стен..

63. Число разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

64. Автомобиль выехал из в со скоростью 80 км/ч, в то же время поезд вышел из в со скоростью 50 км/ч. Угол равен 60°, = 200 -км/ч.. В какое время расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим?

65. Требуется сделать погреб с квадратным основанием так, чтобы при заданном объеме V площадь стен и пола была наименьшей. Каково соотношение высоты погреба и стороны основания?

66. Из всех прямоугольников данной площади S определить тот, периметр которого наименьший.

67. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна. Каковы его острые углы?

68. В полушар радиуса вписан прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объёма. Каковы размеры этого параллелепипеда?

69. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса , чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости?

70. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершённый сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наибольшую боковую поверхность, если его объём равен ?

71. В треугольник с основанием и высотой вписан прямоугольник наибольшей площади. Вычислить его площадь.

72. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны . Определить её большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

73.Найти наибольшее значение произведения двух положительных чисел, сумма которых постоянна и равна .

Найти наименьшее значение суммы двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно .

74. Из всех прямоугольников данной площади найти тот, периметр которого наименьший.

75. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма его катета и гипотенузы постоянна.

76. Найти кратчайшее и наибольшее расстояния от точки до окружности .

77. В конус, радиус основания которого равен , а высота , вписать цилиндр наибольшего объёма.

78. В шар радиусом вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

79. Около данного шара описать конус наименьшего объёма.

80.В шар радиусом вписать цилиндр наибольшего объёма.

81. Найти наибольший объём конуса с данной образующей .

82. Газ, содержащий окись азота, смешивается с воздухом. Определить, при каком содержании кислорода (в %) в полученной смеси скорость окисления азота максимальна и какой объём добавленного к газу воздуха обеспечивает это количество кислорода в смеси.

83. Процессы сульфирования и хлорирования органических соединений часто осуществляется с применением света. Найти, на какой высоте над площадкой следует поместить источник света, чтобы освещённость площадки была максимальной.

84. В расчётной практике по абсорбции, дистилляции, экстракции и выщелачиванию встречается функция . Найти предел этой функции при .

85. Зависимость между количеством вещества, получаемого в результате некоторой химической реакции, и временем выражается уравнением . Определить скорость реакции.

86. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объ­ема V цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее ко­личество материала?

87. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

88. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наи­большей?

89. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса ?

90. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара

радиуса ?

91. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

92. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света.

93. В точках и находятся источники света силы соответствен­но и . Расстояние между источниками равно . На отрезке найти наименее освещенную точку М.

94. На оси найти точку, из которой отрезок виден под наибольшим углом, если , .

95. Пункт находится на расстоянии 60 км от железной дороги. Расстояние по железной дороге от пункта до ближайшей к пункту точки составляет 285 км.. На каком расстоянии от точки надо построить станцию, чтобы затрачивать наименьшее время на передви­жение между пунктами и , если скорость движения по железной дороге равна 52км/ч, а скорость движения по шоссе равна 20 км/ч?

96. Проволока длиной согнута в прямоугольник. Каковы размеры этого прямоугольника, если его площадь наибольшая!

97. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна .

98. Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверх­ность равна .

99. Турист идет из пункта , находящегося на шоссейной дороге, в пункт расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от до по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт , если скорость его по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч!

100. Найти наименьшее значение суммы двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно .

Задача 19. Определить количество действительных корней уравнения , отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью .

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

44. 

45. 

46. 

48. 

49. 

50. 

51. 

52. 

53. 

54. 

55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

60. 

61. 

62. 

63. 

64. 

65. 

67. 

Таблица 1.

Вариант
1	1	2	3	4
2	1	3	4	5
3	1	4	5	6
4	1	5	6	7
5	1	6	7	8
6	1	7	8	9
7	-1	2	3	4
8	-1	3	4	5
9	-1	4	5	6
10	-1	5	6	7
11	2	2	3	4
12	2	3	4	5
13	2	4	5	6
14	2	5	6	7
15	2	6	7	8
16	2	7	8	9
17	-2	2	3	4
18	-2	3	4	5
19	-2	4	5	6
20	-2	5	6	7
21	3	2	3	4
22	3	3	4	5
23	3	4	5	6
24	3	5	6	7
25	3	6	7	8
26	3	7	8	9
27	-3	2	3	4
28	-3	3	4	5
29	-3	4	5	6
30	-3	5	6	7
31	4	2	3	4
32	4	3	4	5
33	4	4	5	6
34	4	5	6	7
35	4	6	7	8
36	4	7	8	9
37	-4	2	3	4
38	-4	3	4	5
39	-4	4	5	6
40	-4	5	6	7
41	5	2	3	4
42	5	3	4	5
43	5	4	5	6
44	5	5	6	7
45	5	6	7	8
46	5	7	8	9
47	-5	2	3	4
48	-5	3	4	5
49	-5	4	5	6
50	-5	5	6	7
51	6	2	3	4
52	6	3	4	5
53	6	4	5	6
54	6	5	6	7
55	6	6	7	8
56	6	7	8	9
57	-6	2	3	4
58	-6	3	4	5
59	-6	4	5	6
60	-6	5	6	7
61	7	2	3	4
62	7	3	4	5
63	7	4	5	6
64	7	5	6	7
65	7	6	7	8
66	7	7	8	9
67	-7	2	3	4
68	-7	3	4	5
69	-7	4	5	6
70	-7	5	6	7
71	8	2	3	4
72	8	3	4	5
73	8	4	5	6
74	8	5	6	7
75	8	6	7	8
76	8	7	8	9
78	-8	2	3	4
79	-8	3	4	5
80	-8	4	5	6
81	9	2	3	4
82	9	3	4	5
83	9	4	5	6
84	9	5	6	7
85	9	6	7	8
86	9	7	8	9
87	-9	2	3	4
88	-9	3	4	5
89	-9	4	5	6
90	-9	5	6	7
91	3	2	3	4
92	3	2	4	5
93	3	2	5	6
94	3	2	6	7
95	3	2	7	8
96	3	2	8	9
97	-3	2	3	4
98	-3	2	4	5
99	-3	2	5	6
100	-3	2	6	7

162