Введение.

Общий курс высшей математики, изучаемой студентами-заочниками инженерно-технических и технологических специальностей, состоит из аналитической геометрии с элементами линейной алгебры, математического анализа, элементов теории вероятности и математической статистики.

Этот курс ставит основной своей задачей сообщить студенту сведения о высшей математике, необходимые для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, и также развить навыки логического мышления.

Учебный материал по курсу высшей математики распределен на пять первых семестров. В конце каждого семестра предусмотрен зачет или экзамен по изученным разделам математики. Соответственно этим разделам студенты выполняют контрольные работы согласно учебному плану своей специальности.

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Лекции, практические, индивидуальные межсессионные занятия призваны помочь им в самостоятельной работе и выполнении контрольных работ.

Работа студента-заочника над учебным материалом по математики состоит из следующих элементов: слушание лекций, участие в практических занятиях, участие в межсессионных индивидуальных занятиях, изучение материала по учебникам, решение задач, ответы на вопросы для самоконтроля, выполнение контрольных работ (1-5 в семестр), сдача зачетов и экзаменов.

Настоящий сборник содержит все задания для выполнения контрольных работ по высшей математике а также ставит цель помочь студенту-заочнику самостоятельно работать над учебным материалом по высшей математике, в нем перечислена литература, рекомендованная для самостоятельного изучения материала, содержится программа по всему курсу, методика изучения и решения типовых вариантов контрольных работ.

Контрольная работа №1

Линейная алгебра. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Введение в анализ. Производная.

Решение типового варианта.

Задача 1. Вычислить определитель.

Решение: Разложим определитель по первой строке.

Для вычисления определителя пятого порядка разложить его по элементам первой строки, получим два определителя четвертого порядка, которые вычисляются аналогично.

Задача 2. Найдите сумму , разность , произведения матриц и , если это возможно

Воспользоваться формулами

При сложении (вычитании) матриц соответствующие компоненты суммируются (вычитаются).

Задача 3. Даны векторы

Проверить, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе . Вычислить скалярное и векторное произведение векторов .

Решение: Поскольку смешанное произведение

то векторы образуют базис.

Вектор можно представить в виде .

Это равенство равносильно следующим равенствам:

т.к. равные векторы имеют равные координаты и координаты линейной координации векторов равны соответствующим линейным комбинациям одноименных координат.

Решив данную систему методом Гаусса, имеем

Итак, в данном базисе имеет координаты

Скалярное произведение:

Векторное произведение:

Задача 4.

Решить систему

а) методом Крамера

б) матричным методом

Решение:

а) Вычислим определители

По формулам Крамера, имеем

б) Найдем алгебраические дополнения

Обратная матрица

Находим

таким образом

Задача 5. Исследовать систему на совместность методом Гаусса, если система совместна – найти ее решение.

Решение: Составим расширенную матрицу системы:

Ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, поэтому на основании теоремы Кронекера-Капелли заключаем, что система совместна. Найдем ее решение.

Исходная система равносильна следующей:

Пусть - свободная переменная, а - базисные переменные, тогда

Полагая получаем

Итак, система имеет бесконечное множество решений:

Задача 6. Даны координаты вершин . Найдите

а) длину стороны АВ

б) уравнение высоты СD и ее длину

в) уравнение медианы АМ

г) точку пересечения высоты СD и медианы АМ

д) угол С в

А(3,4) В(8,10) С(5,-4)