Математическая статистика: критерии

Статистические критерии – компактные формулировки правил проверки достоверности выводов анализа или правильности выдвигаемых гипотез. Они позволяют вместо субъективных оценок использовать объективные количественные характеристики. Исключить субъективные ошибочные выводы позволяет аппарат статистических гипотез. Аппарат статистических гипотез использует следующие определения:

Нулевая гипотеза ( ) –гипотеза, проверяемая с помощью тех или иных критериев.

Альтернативная гипотеза ( ) –гипотеза, противопоставляемая нулевой и которая может оказаться верной, если будет отвергнута. Например, речь идет о сравнении 2-х средних и оценки существенности их различий. Нулевая гипотеза здесь- предположение ,что средние и различаются несущественно и их различия случайны, что группы единиц ,из которых исчислены сравниваемые средние ,взяты из одной и той же совокупности. Записывается эта ситуация следующим образом: : = . Альтернативная гипотеза – предположение, что средние различаются существенно, что единицы двух сравниваемых групп взяты из разных совокупностей. Это записывается так : : ≠ .

Ошибка первого рода – ошибочно отвергается нулевая гипотеза. Вероятность ошибки обозначается α .Вероятность появления ошибки 1-го рода называют уровнем значимости. Если уровень значимости α = 5%, это значит, что существует возможность отвергнуть правильную нулевую гипотезу в одном случае из 20 .Если 1% - то в одном случае из 100 . Чаще всего в медицинских исследованиях опираются на уровень значимости 5% .

Ошибка 2-го рода – ошибочное принятие неверной на самом деле нулевой гипотезы. Вероятность появления такой ошибки обозначается β.

Мощность критерия называют вероятность отвергнуть ошибочную альтернативную гипотезу и обозначают 1-β.Чем больше мощность критерия, тем вероятнее, что он обнаружит ошибочность альтернативной гипотезы. Между уровнем значимости и мощностью критерия имеется определенная связь. Так, с уменьшением уровня значимости падает мощность критерия.

Непараметрические методы математической статистики

В практике обработки результатов наблюдений распределение генеральной совокупности часто неизвестно или отличается от нормального распределения, так что применение параметрических методов необоснованно и может привести к ошибкам. В этих случаях применяют методы, не зависящие от распределения генеральной совокупности, называемые непараметрическими методами.

Непараметрические методы используют не сами численные значения элементов выборки, а структурные свойства выборки, например, отношения порядка между её элементами. В связи с этим теряется часть информации, содержащаяся в выборке, поэтому, например, мощность непараметрических критериев меньше, чем мощность их аналогов. Однако непараметрические методы могут применяться при более общих предположениях и более простые с точки зрения выполнения вычислений.

Большая группа непараметрических критериев используется для проверки гипотезы о принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности, т.е. о том, что функции распределения двух генеральных совокупностей равны. Такие генеральные совокупности называют однородными. Необходимое условие однородности состоит в равенстве характеристик положения и (или) рассеивания у рассматриваемых генеральных совокупностей – таких, как средние, медианы, дисперсии и др. Используемые для этих целей непараметрические критерии в качестве основного предположения используют только непрерывность распределения генеральной совокупности.

Простейший критерий такого рода, критерий знаков, применяется для проверки гипотезы Ho об однородности генеральных совокупностей по попарно связанным выборкам.