5.2. 6. Интегральный способ

Для приемов элиминирования характерны следующие недостатки:

величина влияния фактора на изменение результативного показателя зависит от места расположения фактора в детерминированной модели;

дополнительный прирост результативного показателя, полученный от совместного взаимодействия факторов, присоединяется к последнему фактору.

Интегральный метод не имеет этих недостатков. Величина влияния фактора на изменение результативного показателя не зависит от места расположения фактора в детерминированной модели. Дополнительный прирост от совместного взаимодействия факторов, распределяется между ними поровну.

Метод применяется для измерения влияния факторов в мультипликативных, кратных и смешанных моделях типа .

Для мультипликативных моделей:

Исходная модель .

; .

Исходная модель

; ;

.

Исходная модель

Кратная модель ; ; .

Смешанная модель типа: ; ;

;	;
;	;
;	.

5.2.7. Способ логарифмирования

Применяется для измерения влияния факторов в мультипликативных моделях.

Результат расчета влияния факторов на результативный показатель при этом способе не зависит от места расположения факторов в модели. Дополнительный прирост от совместного взаимодействия факторов распределяется между ними пропорционально доли изолированного влияния каждого фактора на уровень результативного показателя.

Исходная модель

; ; .

Задачи к практическому занятию №5

Все предлагаемые в дальнейшем задачи решаются в следующей последовательности:

определяется результативный и факторный показатели;

составляется исходная и расширенная математическая модель факторной системы и определяется ее тип;

рассчитывается уровень влияния факторов на результативный показатель теми приемами, которые указаны в задаче;

проверяется правильность расчета факторов методом балансовой увязки (составляется таблица результатов влияния факторов) и делаются выводы по результатам решения задачи.

Задача 5.1. На основании имеющейся информации в табл.5.1 определить уровень влияния факторов на результативный показатель всеми возможными приемами.

Таблица 5.1 Исходные данные для факторного анализа объема произведенной продукции или среднегодовой выработки рабочего

Показатели	Обозначение	План	Факт	Абсолютное отклонение (+, –)			Выполнение плана, %
1. Произведенная продукция, тыс. грн		160000	240000
2. Среднегодовая численность рабочих, чел.		1000	1200
3. Отработано всеми рабочими за год
3.1 дней		250000	307200
3.2 часов		2000000	2334720
4. Количество дней, отработанных одним рабочим за год		250	256
5. Среднегодовая выработка продукции одним рабочим, тыс. грн. (стр.1:стр.2)
6. Среднедневная выработка продукции одним рабочим, грн. (стр.5:стр.4)
7. Средняя продолжительность рабочего дня, ч. (стр.3.2:стр.3.1)
8. Среднечасовая выработка продукции одним рабочим, грн. (стр.6:стр.7)

Задача 5.2. На основании имеющихся в табл. 5.2 исходных данных определить влияние факторов на изменение объема произведенной продукции всеми возможными способами, в том числе пропорционального деления или долевого участия.Таблица 5.2 Исходные данные для факторного анализа объема произведенной продукции или среднегодовой выработки работающего

Показатели	Обозначение	План	Факт	Абсолютное отклонение (+,–)	Выполнение плана, %
1. Произведенная продукция, тыс. грн.		42800	44680
2.Среднегодовая численность работающих, чел.		4000	4062
3.Среднегодовая численность рабочих, чел.		3200	3267
4. Удельный вес рабочих в общем объеме работающих, %		80,0	80,428
5. Количество человеко‑дней, отработанных за год всеми рабочими		800000	823284
6.Количество человеко‑часов, отработанных за год всеми рабочими		6400000	6215794,2
7. Среднегодовая выработка продукции на одного работающего, тыс. грн. (стр.1: стр.2)	В
8. Среднегодовая выработка продукции на одного рабочего, тыс. грн. (стр.1:стр.3)
9.Количество дней, отработанных за год одним рабочим (стр.5:стр.3)
10.Средняя продолжительность рабочего дня, ч. (стр.6: стр.5)
11.Среднедневная выработка продукции на одного рабочего, грн. (стр.8:стр.9)
12. Среднечасовая выработка на одного рабочего (стр.11: стр.10)

Задача 5.3. На основании имеющихся в табл. 5.3 исходных данных проанализировать влияние использования основных производственных фондов на объем произведенной продукции способом абсолютных разниц и интегральным методом.

Таблица 5.3 Исходные данные для факторного анализа фондоотдачи

Показатели	Обозначение	План	Факт	Абсолютное отклонение (+,–)	Выполнение плана, %
1. Произведенная продукция, тыс. грн.		82800	91900
2. Первоначальная среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс. грн.		66240	70690
3. Фондоотдача (стр.1:стр.2), грн.

Задача 5.4. На основании имеющихся в табл. 3.4 исходных данных проанализировать влияние факторов на изменение коэффициента оборачиваемости нормируемых оборотных средств всеми возможными приемами.

Таблица 5.4 Исходные данные для факторного анализа коэффициента оборачиваемости нормируемых оборотных средств

Показатели	Обозначение	План	Факт	Абсолютное отклонение (+, –)	Выполнение плана, %
1. Выручка от реализации продукции, тыс. грн.		108700	125000
2. Среднегодовая стоимость нормируемых оборотных средств, тыс. грн.		25279	26050
3. Коэффициент оборачиваемости нормируемых средств (стр.1:стр.2)

Задача 5.5. На основании имеющихся в табл. 5.5 исходных данных проанализировать влияние факторов на изменение прибыли от реализации изделий А всеми возможными приемами.

Таблица 5.5 Исходные данные для факторного анализа прибыли от реализации изделий А

Вид продукции	Количество реализованной продукции, шт.,		Цена единицы продукции, грн. /шт.,		Себестоимость единицы продукции, грн. /шт.,		Прибыль от реализации, тыс. грн..,		Абсолютное отклонение (+,–) тыс.грн.	Выполнение плана, %
	план	факт	план	факт	план	факт	план	факт
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
А	57600	58402	508,68	526,34	408	412,8

Задача 5.6. На основании имеющихся в табл. 5.6 исходных данных проанализировать влияние факторов на изменение уровня рентабельности производства (производственных фондов) всеми возможными способами.

Таблица 5.6 Исходные данные

Показатели	Обозначение	План	Факт	Абсолютное отклонение (+, –)	Выполнение плана, %
1.Балансовая прибыль, тыс. грн.		24510	25490
2. Среднегодовая первоначальная стоимость основных производственных фондов, тыс. грн.		46005	46890
3. Среднегодовая стоимость нормируемых оборотных средств, тыс. грн.		20914	22800
4. Коэффициент рентабельности производства стр.1:стр.(2+3)

Задача 5.7. Проанализировать способом пропорционального деления или долевого участия влияние факторов на изменение уровня рентабельности производства. Известно, что уровень рентабельности производства в отчетном периоде снизился на 8% в связи с тем, что произошло увеличение производственных фондов предприятия на 200 тыс.., в том числе среднегодовая первоначальная стоимость основных производственных фондов увеличилась на тыс. грн., а среднегодовая стоимость нормируемых оборотных средств уменьшилась на 50 тыс. грн. Сумма балансовой прибыли предприятия в отчетном периоде по сравнению с планом не изменилась.

Практическое занятие №6

Тема: Способы стохастического факторного анализа. Корреляционно-регрессионный анализ

Теоретические материалы для решения практических задач:

Метод корреляционно-регрессионного анализа используется для определения влияния факторов, не находящихся с результативным показателем в функциональной зависимости. При корреляционной зависимости в отличие от функциональной определенному значению фактора может соответствовать несколько значений результативного показателя.

Корреляционная зависимость проявляется при большом количестве наблюдений о величине исследуемых факторов и результативных показателях.

Корреляционная зависимость проявляется при большом количестве наблюдений о величине исследуемых факторов и результативных показателях, т.к. отражает зависимости между средними их величинами.

Различают парную (однофакторную) и множественную (многофакторную) корреляцию.

Парная корреляция – это связь между двумя показателями, один из которых факторный, другой – результативный.

Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.

Обычно при анализе применяются простейшие прямолинейные (уравнение прямой).

Однофакторные зависимости вида

.

Многофакторные:

,

где х, , , …, — соответственно факторный и факторные показатели;

а, b, , , …, — параметры уравнения регрессии, которые нужно определить;

При выборе факторов, влияющих на результативный показатель следует руководствоваться следующими положениями:

1. учитывать причинно-следственные связи между показателями;

2. отбирать самые значимые факторы, которые оказывают решающее воздействие на результативный показатель;

3. все факторы должны быть количественно измеримы, т.е. иметь единицу измерения, и информация о них должна содержаться в учете и отчетности;

4. в корреляционную модель линейного типа не должны включаться факторы, связь которых с результативным показателем имеет криволинейный характер или носит функциональный характер, а также взаимосвязанные факторы.

При корреляционно-регрессионном анализе решаются следующие задачи:

1. установление зависимости изменения среднего значения результативного показателя от изменения одного или нескольких факторов (в абсолютном измерении), это значит, определить на сколько единиц изменяется величина результативного показателя при изменении фактора.

В том случае мы определяем уравнение регрессии.

2. установление относительной степени зависимости результативного показателя от каждого фактора – определяем коэффициент корреляции.

При наличии многофакторной зависимости ее рассчитывают на ЭВМ по типовой программе.

Рассмотрим использование прямолинейной однофакторной (парной) корреляции

.

Значения коэффициентов а и b находят из системы уравнений, полученных по способу наименьших квадратов. В данном случае система уравнений имеет вид

где n— количество наблюдений;

а – постоянная величина результативного показателя, не связанная с изменением фактора х;

b – параметр, показывающий среднее изменение результативного показателя с повышением или понижением величины фактора на единицу его измерения.

Для линейной математической формы связи параметры a и b можно определить по формулам:

­_­­­

Значения , , , — рассчитываются на основе фактических исходных данных.

В случае прямолинейной формы связи между изучаемыми показателями коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

Коэффициент корреляции может принимать значения от 0 до . При прямой связи он не превышает +1, а при обратной связи –1. Чем ближе его величина к 1, тем более тесная связь между изучаемыми показателями и наоборот.

Обычно считают:

|r|< 0,3 - связь слабая (нет зависимости)

0,3 ≤ |r| ≤ 0,6 - связь средняя

0,6< |r| ≤ 1 -связь сильная

Теснота связи "сильная", переходящая в функциональную линейную связь при |r| = 1.

r=0, то случайные переменные x и y не коррелируемы

r>0 – связь прямая,

r<0 – связь обратная

Свойства коэффициента корреляции:

- коэффициент корреляции по абсолютной величине находится в интервале от -1 до 1.

- величина R не изменился, если все значения х и у разделить или умножить на одну и ту же величину.

- величина R не изменится, если ко всем значениям х и у прибавить или отнять одну и ту же величину.

- в любом явлении должна присутствовать причинно-следственная связь (логика). Коэффициент корреляции исчисляется по выборочным данным и как любой статистический показатель может быть определен с некоторой погрешностью.

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, то получим коэффициент детерминации. Он покажет, на сколько процентов вариаций результативный показатель зависит от влияния данного фактора, и какая доля приходится на другие факторы.

Применение методов корреляционной зависимости в практике аналитической работы предприятий ограничено рядом причин.

1. Взаимосвязь корреляционного характера проявляется в среднем в большей массе явлений и не может точно отражать индивидуальные особенности проявления той же по характеру взаимосвязи у отдельных единиц анализируемой совокупности. Поэтому выводы корреляционного анализа точны для конкретных единиц анализируемой совокупности.

2. Взаимосвязи факторов и различные формы воздействия на результативный показатель могут привести при введении в модель новых факторов или исключении старых не только к изменению числовых значений коэффициентов в уравнении регрессии, но и знаков при них.

Для оценки значимости и адекватности модели необходимо путем сравнения табличных значений и расчетных оценит качество модели по критериям Стьюдента и Фишера

Для оценки качества модели по критерию Стьюдента фактическое значение этого критерия (t_набл)

сравнивается с критическим значением t_кр которое берется из таблицы значений t с учетом заданного уровня значимости (α = 0.05) и числа степеней свободы (n - 2).

Если t_набл > t_кр, то полученное значение коэффициента парной корреляции признается значимым.

Проверим значимость коэффициента детерминации, используя F‑критерий Фишера.

Вычислим статистику F по формуле:

где:

m = – число параметров в уравнении регрессии (в линейной регрессии 3);

N = – число наблюдений в выборочной совокупности.

Задача 6.1 Определить коэффициенты регрессии и корреляции зависимости производительности труда от фондовооруженности на основе исходных данных, приведенных в табл.6.1.

Таблица 6.1 Исходные данные

Показатели	Производительность труда, тыс. грн, y	Фондовооруженность труда, тыс. грн, x
Число наблюдений, n
1	6,2	1,6
2	6,6	1,8
3	6,9	2,0
4	6,8	2,0
5	7,3	2,3
6	7,6	2,4
7	8,6	2,5
8	9,1	2,6
9	10,6	2,6
10	11,2	2,8
Итого	80,9	22,6
Среднее значение

Таблица 6.2- Расчет производных величин для определения параметров регрессии и

коэффициентов корреляции и детерминации

Число наблюдений	Производительность труда, млн р., y	Фондовооруженность труда, млн р., x	xy	x2	y2	yx
А	1	2	3	4	5	6
1
2
3
4
5
6

Окончание табл. 6.2

А	1	2	3	4	5	6
7
8
9
10
Итого
Среднее значение

Задача 6.2 Определить коэффициенты регрессии, корреляции и детерминации. Записать уравнение зависимости выпуска промышленных изделий от их запуска. Исходные данные в табл. 6.3

Таблица 6.3 - Исходные данные о запуске и выпуске промышленных изделий, тыс. шт.

Показатели	Число наблюдений, n						Итого	Среднее значение
	1	2	3	4	5	6
А	1	2	3	4	5	6	7	8
1. Запуск изделий, x	18,0	22,0	13,0	20,0	15,0	14,0	102,0	17,0
2. Выпуск изделий, y	17,2	20,9	11,6	18,7	14,1	12,9	95,4	15,9

Задача 6.3 Отдел маркетинга компании по продаже модной одежды намеревается изучить наличие взаимосвязи между объемом продаж в каждом отделении сети магазинов фасонной одежды и численностью населения, проживающего в радиусе 30-минутной езды от каждого из отделений. Отдел располагает данными среднего еженедельного оборота в десяти отделениях сети магазинов и сведения о численности населения (см. таблицу 6.4)

Примечание: уравнение регрессии - линейное

Необходимо:

1. Провести расчет коэффициента корреляции

2. Оценить степень зависимости объема продаж (у) от численности населения (х)

3. Составить уравнение регрессии

4. Спрогнозировать объем продаж магазина, если население, проживающее в пределах 30-минутной ходьбы от него, составляет 750 тыс. чел

5. Сделать выводы

Таблица 6.4- Исходные данные

Отделение магазина	Объем продаж, тыс. грн	Численность населения
1	24	287
2	15	161
3	18	75
4	22	191
5	43	450
6	35	323
7	32	256
8	25	32
9	19	142
10	23	210

Задача 6.4 Некоторая фирма занимается поставками различных грузов на короткие расстояния внутри города. Оценить стоимость таких услуг, зависящую от затрачиваемого на поставку времени. В качестве наиболее важного фактора, влияющего на время поставки, выбрано пройденное расстояние. Были собраны исходные данные о десяти поставках (таблица 6.5)

Таблица 6.5- Исходные данные

Расстояние, миль	3,5	2,4	4,9	4,2	3,0	1,3	1,0	3,0	1,5	4,1
Время, мин	16	13	19	18	12	11	8	14	9	16

Необходимо:

1. Определить характер зависимости между расстоянием и затраченным временем (вручную и используя мастер диаграмм MS Еxcel)

2. Проанализируйте применимость метода наименьших квадратов, постройте уравнение регрессии, используя МНК, проанализируйте силу регрессионной связи.

3. Проведите регрессионный анализ, используя режим работы "Регрессия" в MS Еxcel и сравните с результатами, полученными ранее (вручную).

4. Сделайте прогноз времени поездки на 2 мили.

5. Посчитать и построить графически меру ошибки регрессионной модели используя табличный процессор Excel.