Угловое уравнение.
Движение электрона в водородоподобном атоме, по координатам и , описываемое функцией , можно рассматривать, как ротатор.
Угловое уравнение вида
или ,
где собственные значения энергии
,
а собственные значения квадрата момента импульса
.
Собственными функциями оператора являются шаровые функции вида:
,
где - присоединенные полиномы Лежандра
.
Орбитальное (азимутальное) квантовое число определяет момент импульса электрона в атоме, т.е. конфигурацию электронного облака и принимает значений:
.
Квантовое число - магнитным квантовым числом. Оно определяет проекцию момента импульса на произвольно выбранную ось:
,
, но ,
и принимает значений:
.
определяет дискретные значения проекции момента импульса на выбранное направление, т.е., определяет ориентацию оси симметрии и конфигурацию распределения электронного облака в пространстве.
Электрон создает магнитный момент :
,
где - гиромагнитное отношение,
- магнетон Бора , .
Числовое значение совпадает со значением, полученным из теории Бора.
Проекция магнитного момента на ось , следовательно,
,
где - магнитное квантовое число.
П ри наложении внешнего магнитного поля происходит взаимодействие магнитного момента атома с . В результате атом получает дополнительную энергию
Используя , получаем
.
Проекции момента импульса принимают дискретные значения (пространственное квантование ):
.
Тогда
,
Полная энергия атома в магнитном поле
.
Для атома водорода
при ; ; .
Если , то .
Если , то .
Уровень энергии расщепляется на 3 подуровня
; ; ;
.
Полное число состояний в атоме водорода. Квантовые числа.
Рассмотрим полное число состояний в атоме водорода в общем случае.
.
Подставив в уравнение Шредингера, мы получили два взаимосвязанных уравнения для функций и .
Эти функции имеют вид
,
,
;
Где - полином Лагерра,
- полиномы Лежандра.
Тогда решение
=
содержит три целочисленных параметра – три квантовых числа: , и .
Главное квантовое число определяет энергию электрона в атоме и может принимать значения - это по существу номер уровня энергии.
Орбитальное (азимутальное) квантовое число определяет модуль момента импульса электрона и может принимать значения (всего значений). Значения определяет азимутальное распределение плотности вероятности локализации электрона в атоме (форму электронного облака).
Магнитное квантовое число определяет проекцию на произвольно выбранное направление (или ориентацию электронного облака в пространстве) и может принимать значения (всего значений).
Полное число состояний для данного
,
т.е., данной энергии соответствует состояний (или функций). Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число этих состояний называется кратностью вырождения.
В атомной физике состояния принято обозначать символами , , и т.д. (по числу ):
- -состояние,
- -состояние,
- -состояние,
- -состояние и т.д.
Значение главного квантового числа указывается перед обозначением квантового числа :
-состояние , ;
-состояние , ,
-состояния , ,
-состояние , ,
-состояния , ,
-состояния , , .
Волновую функцию часто называют атомной орбиталью (АО) и, в зависимости от того, какое значение принимает орбитальное число , говорят, что электрон находится на -, -, -, … орбитали.
Полная энергия электрона в атоме водорода
,
где .
Этот результат совпадает с выводами теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения получаются как следствия основных положений квантовой механики, тогда как в теории Бора такой результат получался при специальных предположениях.