Примеры для самостоятельного решения.

Найти интегралы:

17) ; 18) ; 19) ; 20) ;

21. ; 22) ; 23) ; 24) ;

25) 26) ; 27) ; 28) .

Ответы:

17. 18) ; 19)

20) 21) ; 22) ;

23. ; 24) 25)

26) 27) 28)

Практическое занятие №14.

Интегрирование рациональных функций.

Контрольные вопросы.

1.Каков общий вид целой рациональной функции (полинома) степени n (x)?

2. Что называется корнем (нулем) функции (x)?

3. На какие множители разлагается полином n-ой степени с вещественными коэффициентами?

4. Какие корни называются простыми; какие корни называются кратными?

5. Какого вида дроби называются простейшими?

6. К каким четырем типам интегралов приводит интегрирование правильной рациональной дроби?

7. В чем состоит метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений?

8. Сформулируйте общее правило интегрирования рациональной дроби.

Примеры с решениями:

Найти интегралы:

1) I=

Подынтегральная функция – неправильная дробь. Выделим целую часть в правильной дроби.

Разложим знаменатель на множители:

= +

Разложим на простейшие правильную дробь:

= + + .

Освободимся от знаменателей, умножив обе части на

5 .

Коэффициенты A, B, C найдем методом частных значений, давая x значения, равные корням знаменателя:

x = 1 5 ∙ 1 4 = A(1 + 1) (1 + 2) A =

x = 5 ∙ 1 4 = B( ( B =

x = 5 ∙ 4 4 = C(4 C = .

Итак, I = + - + = = .

2) I = .

Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Корни знаменателя вещественные:

x=2 – простой; x= - кратности 3. Разложение на простейшие принимает вид:

= + + +

Освобождаемся от знаменателей:

К оэффициенты разложения определяем методом частных значений, придавая x любые значения, в том числе = и = 2 (корни знаменателя):

x = 1 + 2 = C(

x = 2 4 + 2 = D D =

Последняя система принимает вид:

A = , B = .

Итак, I = + + = + + + + c = с + .

3) I = .

Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Знаменатель представляет произведение простых квадратичных множителей (вещественных корней нет). Разложение дроби принимает вид:

= + .

Освобождаясь от знаменателей, получаем

8 = (A + B)( +1) + (C + D)( +2).

Коэффициенты находим методом неопределенных коэффициентов, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :

8 = A + C A + C = 8

= B + D A + 2C = 13 A = 3, C = 5

13 = A + 2C B + D =

= B + 2D B + 2D = B = , D = 0.

Итак, I = + 5 = arctg + .

Примеры для практических занятий:

Найти интегралы:

4) ; 5) ;

6) 7) ;

8) ; 9) ;

10) 11) .

Ответы:

4) + 2 + c;

5. 2 + arctg + c;

6) + + arctgx+ c;

7) + c;

8) + c;

9)

10) arctg + c;

11) arctg + arctg( + c.

Примеры для самостоятельного решения:

Найти интегралы:

12) ; 13) ; 14) ;

15) 16) ; 17) ;

18) ; 19) ; 20) ;

21) ; 22) .

Ответы:

12) ; 13) ;

14) ; 15) ;

16) ; 17)

18) arctg ; 19) arctg x+с ;

20) 21) arctg arctg x+c ;

22) arctg (x 2) + с.

Практическое занятие №15.

Интегрирование тригонометрических функций, рациональных относительно синуса и косинуса.

Контрольные вопросы.

1. Какой подстановкой , где R- рациональная функция, сводится к интегралу от рациональной функции относительно новой переменной?

2. В каких случаях может быть взят с помощью подстановки t= t= , t= ?

3. Как берутся интегралы , где m и n- целые числа?

4. Как интегрируется произведения синусов и косинусов различных аргументов?

Примеры с решениями:

1. Найти J= .

Так как подынтегральная функция рациональна относительно , то воспользуемся универсальной подстановкой.

J= = = = = = = +C.

2. Найти J .

Подынтегральная функция нечетна относительно . Применим подстановку t= (

J=

3

3) Найти J= .

Подынтегральная функция нечетна относительно , поэтому подстановка t= ( ).

J=

4) Найти J= .

Подынтегральная функция четна относительно поэтому подстановка .

J=

5) Найти

Подынтегральная функция четна относительно , поэтому можно использовать подстановку t=tgx. Однако удобнее воспользоваться известными формулами понижения степени

Тогда

J=

=

6)Найти J= .

Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность:

J=

Примеры для практических занятий:

Найти интегралы:

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. 

7. .

Ответы:

7. ;

8. +С;

9. +C

10. ;

11. ;

12. ;

13. 

14. ;

15. .

Примеры для самостоятельного решения:

;

;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

18. .

Ответы:

16. 

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. 

22. 

23. ;

24. ;

25. .

Практическое занятие №16.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение интегральной суммы f(x) на [a;b].

2. Сформулируйте определение определенного интеграла.

3. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?

4. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

5. В чем состоит свойство интеграла с переменным верхним пределом?

6. Запишите и прочтите формулу Ньютона-Лейбница.

7. В чем суть метода интегрирования подстановкой?

8. Каким условиям должна удовлетворять (и почему?) функция x=φ(t), используемая в качестве подстановки?

Примеры с решениями.

1. найти производные по х от следующих функций:

   1. 

   2. 

   3. 

Решение:

1. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и теоремой о производной интеграла с переменным верхним пределом, получим:

2. 

3. Представим заданный интеграл в виде: , где С – произвольная постоянная. Тогда:

2. Применяя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить интегралы:

1. 

2. ;

3. ;

4. .

3. Применяя подходящую подстановку, вычислить интегралы:

а)

b)

=

c) ;

d)

Примеры для практических занятий:

Вычислить интегралы:

4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ; 11) ;

12) ; 13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) .

Ответы:

4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11. ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) .

Примеры для самостоятельного решения.

19) Найти производные следующих функций:

a) ;

b) ;

c)

Вычислить интегралы:

20) ; 21) ; 22) ; 23) ;

24) ; 25) ; 26) ; 27) ; 28) ;

29) ; 30) ; 31) ; 32) ;

33) .

Ответы:

19)a) ; b) ; c) 20) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) 0; 26) ; 27) ;

28) ; 29) ; 30) ; 31) 32) 33)

Практическое занятие №17.

Определенный интеграл (продолжение).

Контрольные вопросы.

1. Записать и прочесть формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

2. Перечислить основные типы интегралов, вычисляемых по формуле интегрирования по частям.

3. Указать, какая часть подинтегральной функции принимается за U(x), а какая за dV(x).

4. Записать формулу интегрирования четных и нечетных функций по промежутку, симметричному относительно начала координат. Дать их геометрическую трактовку.

5. Указать различные варианты вычисления площадей плоских фигур в декартовых координатах.