ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ –
ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ
О.В. Панневиц, А.С. Рыбакин
Математический анализ
(примеры и задачи)
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург
2010 г
Панневиц О.В., Рыбакин А.С.
Математический анализ (примеры и задачи). Учебно-методическое пособие. – Издательство «», 2010. – 101 с.
Пособие соответствует программе дисциплины «Математический анализ» экономических специальностей. Весь материал разбит на практические занятия по отдельным темам. При этом каждое занятие состоит из четырех пунктов:
1 – повторение основных определений, теорем и рабочих формул по теме занятия;
2 – примеры с решениями различных типов задач и примеров;
3 – набор задач и примеров, которые рекомендуется решить (как правило, самостоятельно в аудитории);
4 – набор задач и примеров для самостоятельного решения (домашнее задание).
Такая структура позволяет наиболее эффективно использовать время занятия как студентам, так и преподавателю.
Кроме того, студент может самостоятельно отработать указанную тему (при необходимости).
Для студентов и слушателей программ высшего профессионального образования.
Рекомендовано к печати Учебно-методическим советом СПб филиала ГУ-ВШЭ в качестве учебного пособия.
Оглавление
Практическое занятие №1. Функции…………………………………………………………………….4
Практическое занятие №2.Множества. Операции над множествами………………………………..12
Практическое занятие №3.Предел функции…………………………………………………………...22
Практическое занятие №4.Предел функции (продолжение)………………………………………….25
Практическое занятие №5.Непрерывность функции. Классификация точек разрыва……………...27
Практическое занятие №6.Производные……………………………………………………………....30
Практическое занятие №7.Дифференцирование функций……………………………………………33
Практическое занятие №8.Правило Лопиталя. Касательная и нормаль к плоской кривой………...37
Практическое занятие №9.Монотонность и экстремумы функций…………………………………..40
Практическое занятие №10.Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой. Построение кривой по ее уравнению в явном виде…………………………………………………...43
Практическое занятие №11.Непосредственное интегрирование…………………………………….47
Практическое занятие №12.Метод замены переменной (подстановки)……………………………..48
Практическое занятие №13.Интегрирование по частям………………………………………………50
Практическое занятие №14.Интегрирование рациональных функций………………………………52
Практическое занятие №15.Интегрирование тригонометрических функций, рациональных относительно синуса и косинуса………………………………………………………………………..57
Практическое занятие №16.Определенный интеграл…………………………………………………61
Практическое занятие №17.Определенный интеграл (продолжение)………………………………..64
Практическое занятие №18.Несобственные интегралы……………………………………………….67
Практическое занятие №19.Положительные ряды…………………………………………………….68
Практическое занятие №20.Знакочередующиеся ряды. Знакопеременные ряды (общий случай)…72
Практическое занятие №21.Степенные ряды…………………………………………………………..74
Практическое занятие №22.Ряды Тейлора и Маклорена………………………………………………77
Практическое занятие №23.Ряды Фурье………………………………………………………………..81
Практическое занятие №24.Ряды Фурье (продолжение)………………………………………………86
Практическое занятие №25.Функции нескольких переменных…………………………………….…89
Практическое занятие №26.Функции нескольких переменных (продолжение)……………………..92
Практическое занятие №27.Скалярное поле……………………………………………………………95
Практическое занятие №28.Градиент скалярного поля…………………………………………….….99
Практическое занятие №29.Экстремумы функции нескольких переменных…………………….…101
Практическое занятие №30.Двойной интеграл………………………………………………………..103
Литература……………………………………………………………………………………………….106
Практическое занятие №1.
Функции.
Контрольные вопросы.
1. Дайте определение числовой функции.
2. Что называют областью определения функции и множеством значений?
3. Какие способы задания функции вы знаете?
4. Дайте определение четной, нечетной функции и функции общего вида.
5. Перечислите основные элементарные функции.
Примеры с решениями:
Найти область определения функций:
;
- + -
-1 2
;
;
Найти множество Y, на которое данная функция отображает множество X:
- функция, возрастающая на всей области определения
.
- функция убывает до , затем возрастает, поэтому считаем значение в трех точках
- функция, возрастающая на всей области определения
;
- функция, убывающая на всей области определения
- функция убывает на заданной области
Определить, является функция четной, нечетной или функцией общего вида:
- четная;
- общего вида;
- нечетная.
4) Построить графики следующих элементарных функций:
- линейная функция
-3
-3
- квадратичная функция, графиком является парабола
2
-1
- дробно-линейная функция, графиком является гипербола
-1
-1/2
- логарифмическая функция
-3
- показательная функция
-1
Примеры для практических занятий:
Найти область определения функции:
;
;
;
.
Найти множество Y, на которое данная функция отображает множество X:
;
.
Определить, является функция четной, нечетной или функцией общего вида:
Построить графики следующих функций:
;
;
;
Ответы:
1. 2. 3. 4.
1. 2. 3. 4.
1. Четная; 2. Нечетная; 3. Четная; 4. Общего вида.
1 .
4
-2
2 .
-3
3 .
3
1 2
4 .
2
3
5 .
-2
Примеры для самостоятельного решения:
Найти область определения функции:
Найти множество Y, на которое данная функция отображает множество X:
Определить, является функция четной, нечетной или функцией общего вида:
Построить графики следующих функций:
Ответы:
1. 2. 3. 4. 5.
1. 2. 3. 4.
1. Четная; 2. Нечетная; 3. Четная; 4. Функция общего вида.
1 .
2
2.
2
-3
3.
-2
4 .
-4
5.
4
Практическое занятие №2.
Множества. Операции над множествами.
Контрольные вопросы.
Что понимают под множеством?
Дайте определение подмножества.
Перечислите основные способы задания множеств.
Какое множество называют счетным?
Перечислите основные операции над множествами.
Примеры с решениями:
Заданы два множества и .
Найти , ,
, .
Заданы два множества и
И зобразить на плоскости
2
-2
-3
Заданы два множества и
Изобразить на плоскости .
2
1
Заданы три множества , и
. Изобразить на плоскости .
4
1
-2 2
-1
-2
-3
Заданы три множества , и
.Изобразить на плоскости .
1
1
2
Заданы три множества , и
. Изобразить на плоскости .
5
1 2 3
-1 -1
1
-1
Заданы три множества , и
.Изобразить на плоскости .
-2
-2
1
-1 1
-1
Примеры для практических занятий:
, ;
Изобразить на плоскости:
Ответы:
8)
9 )
2
1 0)
11)
1 2)
1 3)
1 4)
Примеры для самостоятельного решения:
Изобразить на плоскости:
Ответы:
1 5)
-2
1 6)
17)
18)
1 9)
20)
Практическое занятие №3.
Предел функции.
Контрольные вопросы.
Что называют пределом функции?
Что называют односторонним пределом?
Перечислите типы неопределенностей.
Примеры с решениями:
1. Неопределенность типа решаем разбиением на множители
;
;
;
;
или домножением на сопряженное
;
;
;
2. При следующем типе неопределенности возможны два способа решения.
Первый способ (выносим за скобку наиболее быстро растущую степень):
;
Второй способ (оставляем наибольшую степень):
;
3. При неопределенности типа приводим к общему знаменателю
;
;
или домножаем на сопряженное
;
.
Примеры для практических занятий:
14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ;
19) ; 20) ; 21) ; 22) ;
23) ; 24) ; 25) ; 26) ;
27) ; 28) ; 29) ; 30) ;
31) ; 32) ; 33) ;
34) ; 35) .
Ответы:
0; 15) 0,7; 16) ; 17) ; 18) ; 19) 6; 20) 0; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ;
25) ; 26) 0; 27) –2; 28) 1,5; 29) 0; 30) ; 31) 0,4; 32) 0; 33) 0,25; 34) 2; 35) .
Примеры для самостоятельного решения:
36) 37) 38) 39) 40)
41) 42) 43) 44) 45)
46) 47) 48) 49)
50) 51) 52) 53)
Ответы:
36) 2; 37) 0; 38) 2/3; 39) 6/7; 40) –5/3; 41) 1/6; 42) ½; 43) –2; 44) 45) 46) 2/5; 47)
48) ½; 49) –1/2; 50) –1/2; 51) –2,5; 52) 0; 53) 2.
Практическое занятие №4.
Предел функции (продолжение).
Контрольные вопросы.
Первый и второй замечательные пределы.
Что такое бесконечно малое?
Таблица эквивалентных.
Примеры с решениями:
В этих пределах необходимо применять таблицу эквивалентных:
;
;
;
;
;
;
При следующем типе неопределенности возможны два способа решения.
Первый способ (применение второго замечательно предела):
;
Второй способ (логарифмирование - ):
;
;
;
Примеры для практических занятий:
; 12) ; 13) ; 14) ;
; 16) ; 17) ; 18) ;
19) ; 20) ; 21) ; 22) ;
23) ; 24) ; 25) ; 26) ;
27) ; 28) .
Ответы:
11) ; 12) ; 13) 3; 14) 0,25; 15) 3; 16) 18; 17) 2,5; 18) 3; 19) –2; 20) 3; 21) ;
0; 23) ; 24) ; 25) 1; 26) ; 27) 1; 28) .
Примеры для самостоятельного решения:
29) 30) 31) 32)
33) 34) 35) 36)
37) 38) 39) 40)
41) 42) 43) 44) 45)
46) 47) 48)
Ответы:
29) 1/2; 30) 5/4; 31) ½; 32) –1; 33) ; 34) –3/5; 35) - ; 36) 2/3; 37) 1/12; 38) ; 39) ;
40) ; 41) ; 42) ; 43) 1; 44) ; 45) ; 46) ; 47) 1; 48)
Практическое занятие №5.
Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
Контрольные вопросы.
Какую функцию называют непрерывной?
Какую точку называют точкой устранимого разрыва?
Дайте определение точек разрыва первого и второго рода.
Примеры с решениями:
При каком значении параметра а, функция будет непрерывной:
чтобы функция была непрерывной, необходимо совпадение значений в точке x=1.
или , тогда
- любое число;
теперь два неизвестных параметра у функции, но и две точки 0 и 2 для расчета параметров
или , то есть В=0
или , т.е. 4А=1, А=1/4;
Найти точки разрыва и исследовать их характер:
- функция не определена в точках и .
Вычислим односторонние пределы:
- оба предела бесконечны, следовательно, в точке 0 разрыв второго рода;
- оба предела бесконечны, следовательно, в точке 1 разрыв второго рода.
точка ;
- пределы существуют, но не равны, следовательно, функция имеет в точке 0 разрыв первого рода.
точка ;
- пределы существуют, но не равны, следовательно, функция имеет в точке 0 разрыв первого рода.
4.
на - функция непрерывна, на - функция разрывна в точке .
- разрыв второго рода;
- разрыв второго рода;
-разрыв второго рода.
Примеры для практических занятий:
4.
5.
5.
Ответы:
4. а=3; 5. А=В=1.
5. X=3 – разрыв первого рода; 6. X=2 – разрыв первого рода; 7. X=0 – разрыв второго рода ;
8. x=0 – разрыв первого рода; 9. - разрыв первого рода.
Примеры для самостоятельного решения:
1) 6.
7.
2)10.
11.
12.
13.
Ответы:
6. А=1/2,В=-1; 7. А=1/2,В=0,С=1/4,D=-1/2.
10. X=4 – разрыв первого рода; 11. X=3 – разрыв второго рода; 12. X=0 и x=2 – разрыв первого рода; 13. X=0 – разрыв первого рода.
Практическое занятие №6.
Производные.
Контрольные вопросы:
Сформулируйте определение производной. Укажите ее геометрический смысл.
Что характеризует производная в процессе изменения функции?
Какую функцию называют сложной?
Что такое промежуточный и основной аргументы?
Как находится производная сложной функции?
Примеры с решениями:
Найти производные функции:
;
;
;
;
Найти производные сложной функции:
- это сложная функция, которую можно представить в виде «цепочки» простых функций:
, тогда ,
;
;
;
;
;
;
;
Примеры для практических занятий:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Ответы:
15) ; 16) ; 17) ;
18) ; 19) ; 20) ;
; 22) ; 23) ; 24) .
Примеры для самостоятельного решения:
26) 27)
28) 29) 30)
31) 32)
Ответы:
25) 26) 27) 28) 29)
30) 31) 32)
Практическое занятие №7.
Дифференцирование функций.
Контрольные вопросы.
Какой способ задания функции называется параметрическим?
Как найти производную от функции, заданной параметрически?
В чем состоит правило логарифмического дифференцирования?
Дайте определение дифференциала функции и укажите его геометрический смысл.
Дайте определение производных и дифференциалов высших порядков.
Примеры с решениями:
Найти производную функций, заданных параметрически:
1.
Находим
Тогда
2. при t=1.
Находим
Тогда
3.
в точке М(0,0).
Сначала определяем значение t в точке М(0,0):
откуда следует, что производная в этой точке должна иметь два значения (кривая пересекается сама с собой).
Находим
Для данной точки имеем
Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
Находим
для нахождения производной обозначим
Окончательно
Найти дифференциалы функций:
7.
Найти производные и дифференциалы трех первых порядков функции
Находим
Следовательно,
Примеры для практических занятий:
Найти производную функций, заданных параметрически:
9.
10. при
11. в точке
Продифференцировать функцию, используя правило логарифмического дифференцирования:
12.
13.
14.
15.
Найти дифференциалы функций:
16.
17.
Найти дифференциалы третьего порядка функций:
18.
19.
Ответы:
10. 11. 12.
13. 14.
15.
16. 17. 18. 19.
Примеры для самостоятельного решения:
Найти производную функций, заданных параметрически:
20.
21. в точке
22.
Продифференцировать функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
23.
24.
25.
Найти дифференциалы функций:
26.
27.
28.
Найти дифференциалы второго порядка функций:
29.
30.
Ответы:
20. 21. 22.
23. 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.
Практическое занятие №8.
Правило Лопиталя. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Контрольные вопросы.
Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида
Можно ли применять правило Лопиталя к раскрытию неопределенностей вида
Если можно, то как?
Дайте определение касательной и нормали к плоской кривой и запишите их уравнения.
Примеры с решениями:
Найти указанные пределы по правилу Лопиталя:
Обозначим
Тогда
Составить уравнения касательной и нормали к гиперболе в точке с абсциссой
Решение:
Находим
Определяем угловой коэффициент касательной
Уравнение касательной:
Уравнение нормали:
Примеры для практических занятий:
Вычислить указанные пределы по правилу Лопиталя:
8. 9. 10. 11.
12. 13. 14. 15. 16.
17. 18. 19. 20. 21.
22. 23. 24.
Составить уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках.
25. в точке А(-2,5);
26. в точках пересечения с прямой y=1.
Ответы:
8. 1; 9. 10. –2; 11. 12. 1; 13. 14. 15. 16. –1; 17. 0; 18. 1;
19. е; 20. 21. –2; 22. 23. 24. 25. 26.
Примеры для самостоятельного решения:
Вычислить указанные пределы по правилу Лопиталя:
27. 28. 29. 30.
31. 32. 33. 34.
35. 36. 37. 38.
39. 40.
Написать уравнения касательной и нормали к графику функций в заданной точке:
41.
42.
43. На линии найти точку М, в которой касательная параллельна прямой
Ответы:
27. 0; 28. 29. 30. 31. 1; 32. 1; 33. 0; 34. 35. 36. 37. 1; 38.
39. 40. 2; 41. 42. 43. при
Практическое занятие №9.
Монотонность и экстремумы функций.
Контрольные вопросы.
1. Сформулируйте необходимое и достаточное условия монотонности функции на промежутке.
2. Дайте определение экстремума функции.
3.Сформулируйте необходимое условие экстремума. Дайте его геометрическую иллюстрацию.
Сформулируйте достаточное условие экстремума функции с помощью первой производной.
Сформулируйте достаточное условие экстремума функции с помощью второй производной.
Критические точки какого типа можно исследовать на экстремум с помощью второй производной?
Как находятся наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной в замкнутом промежутке?
Примеры с решениями:
Найти промежутки монотонности и экстремумы функции
Решение: Эта функция определена только при
Находим точки, «подозрительные» на экстремум:
но экстремума в точках быть не может, так как они являются концами области определения, а экстремум возможен только во внутренних точках области определения функции.
Находим промежутки монотонности и экстремумы:
X |
-1,1 |
-1 |
0 |
1 |
1,1 |
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
Y |
|
|
|
|
|
Функция убывает при
Функция возрастает при
Замечание 1. Так как и являются стационарными, то исследование на экстремум можно провести с помощью второй производной.
Находим
Замечание 2. Так как функция непрерывна на замкнутом промежутке , то можно найти наименьшее и наибольшее значения функции в этом промежутке. Для этого вычисляем ее значения в точках, подозрительных на экстремум и , а также на концах промежутка и и находим
Примеры для практических занятий:
Найти промежутки монотонности и экстремумы функций:
3. 4. 5.
Найти наибольшее М и наименьшее m значения функций на замкнутом промежутке:
7. 8. 9.
Ответы:
2. возрастает при убывает при
возрастает при убывает при
возрастает при убывает при
возрастает при убывает при
Примеры для самостоятельного решения:
Найти промежутки монотонности и экстремумы функций:
11. 12. 13. 14. 15.
Найти наибольшее М и наименьшее m значения функции на замкнутом промежутке:
16.
17.
18.
Ответы:
10.убывает при возрастает при
убывает при возрастает при
убывает при возрастает при
убывает при возрастает при
убывает при возрастает при
убывает при возрастает при
Практическое занятие №10.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой. Построение кривой по ее уравнению в явном виде.
Контрольные вопросы.
Что такое «выпуклость» и «вогнутость» кривой?
Что такое точка перегиба кривой?
Что является необходимым, а что достаточным условием существования перегиба в данной точке?
Дайте определение вертикальной и наклонной асимптоты кривой.
Как определяются параметры наклонной асимптоты кривой?
Изложите общую схему исследования функции
Примеры с решениями:
Определить точки перегиба и характер вогнутости кривой
Решение:
Находим
- критические точки на перегиб.
x |
-2 |
|
-1 |
0 |
1 |
|
2 |
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
y |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Точка Перегиба |
|
точка перегиба |
|
точка перегиба |
|
Ответ:
- точки перегиба;
при - вогнутость вниз,
при - вогнутость вверх.
Определить асимптоты кривой
Решение:
- вертикальная асимптота, так как
Находим наклонную асимптоту:
- наклонная асимптота.
Провести полное исследование функции и построить эскиз графика.
Решение:
- критические точки на экстремум.
x |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
-1/2 |
0 |
1 |
|
+ |
0 |
- |
точка |
+ |
0 |
+ |
y |
|
|
|
разрыва |
|
Экстремума нет |
|
- критическая точка на перегиб
X |
-1/2 |
0 |
1 |
|
- |
0 |
+ |
Y |
|
0 |
|
О(0,0) – точка перегиба.
Определяем асимптоты кривой:
- наклонная асимптота.
- вертикальная асимптота, так как .
Строим эскиз графика кривой:
y
-1 2 x
-1
Примеры для практических занятий:
Определить точки перегиба и характер вогнутости (выпуклости) кривых:
5. 6.
Определить асимптоты кривых:
8. 9.
Провести полное исследование и построить эскизы графиков функций:
11. 12.
Ответы:
4. - кривая выпукла, - кривая вогнута, точек перегиба нет;
- промежутки вогнутости,
- промежутки выпуклости,
- точки перегиба;
- промежуток выпуклости, - промежуток вогнутости, - точка перегиба;
- точка перегиба; - асимптоты;
- точка перегиба; - асимптоты;
- точка перегиба; - асимптоты.
Примеры для самостоятельного решения:
Провести полное исследование функций и построить эскизы графиков:
14. 15. 16.
Ответы:
- точки перегиба,
- асимптота.
14. - абсциссы точек перегиба,
- асимптоты.
15. - точка перегиба,
- асимптоты.
16. - абсцисса точки перегиба,
- асимптоты.
Практическое занятие №11.
Непосредственное интегрирование.
Контрольные вопросы.
В чем состоит задача интегрального исчисления?
Какая функция называется первообразной для данной функции f(x)? Указать ее основные свойства?
Дайте определение неопределенного интеграла для данной функции f(x).
Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
В чем состоит метод непосредственного интегрирования?
В чем состоит обобщение таблицы интегралов?
Укажите основные преобразования дифференциала (подведение под знак дифференциала).
Примеры с решениями:
Найти интегралы:
1) = ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6)
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
Примеры для практических занятий:
Найти интегралы:
11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ;
16) ; 17) ; 18) ; 19) ;
20) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) .
Ответы:
11) ; 12) ; 13) 2 ; 14) ;15) ln( ;
16) ; 17) ln ; 18) ; 19) ;
20) -2 ; 21) arcsin ; 22) - + ; 23) ;
24) - ; 25) .
Примеры для самостоятельного решения:
Найти интегралы:
26) ; 27) ; 28) ; 29) ; 30) ; 31) ;
32) ; 33) ; 34) ; 35) ; 36) dx; 37) ;
38) ; 39) ; 40) .
Ответы:
26) ; 27) - ; 28) ; 29) - ; 30) -2 ;
31) - ; 32) ; 33) - ; 34) 3 ; 35) ;
36) ; 37) - ; 38) ; 39) ; 40) .
Практическое занятие №12.
Метод замены переменной (подстановки).
Контрольные вопросы:
1. В чем состоит смысл интегрирования подстановкой?
Каким условиям должна удовлетворять функция , используемая в качестве подстановки?
Указать наиболее употребительные подстановки.
Примеры с решениями:
1. = = = = + +c = + + c;
2.
3. dx = = = 2 + c = 2 + c;
dx = =
5.
+ с.
Примеры для практических занятий:
Используя подходящую подстановку, найти следующие интегралы:
6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ;
11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ;
16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. .
Ответы:
6. – (x = ); 7. 2arctg ( ;
8. (t = ; 9. (t = lnx);
10. 2ln( (t = ;
11. ;
12. );
13. ;
14. 2 ;
15. ;
16. 17. +c (x=2tgt);
18. ;
19. 2 ;
20. .
Примеры для самостоятельного решения:
Найти интегралы:
21. ; 22. ; 23. ; 24. ;
25. ; 26. ; 27. ; 28. ; 29. ;
30. ; 31. ; 32. ; 33. ;
34. ; 35. .
Ответы:
21. ; 22. ;
23. ln( ; 24. +c; 25. )+c;
26. ; 27. +c;
28. 2arcsin ; 29. ; 30.
31. 32. ;
33. 34. + c; 35. .
Практическое занятие №13.
Интегрирование по частям.
Контрольные вопросы.
1. Записать и прочесть формулу интегрирования по частям.
2. Когда целесообразно применять формулу интегрирования по частям?
3. Указать план интегрирования по указанной формуле.
4. Перечислить основные типы интегралов, вычисляемых с помощью формулы интегрирования по частям.
5. Указать, что обозначается за U и dV в указанных выше типах интегралов.
Примеры с решениями:
Найти интегралы:
1)
2)
=
;
4)
Примеры для практических занятий:
Найти интегралы:
5) 6) 7) 8)
9) 10) 11) ; 12)
13) ; 14) ; 15) ; 16)
Ответы:
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)